算法的时间复杂度O

Posted 2022-01-05 guanghe

一、时间复杂度

　　在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题的规模n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级，算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f( ))。它表示随问题的规模 n 的增大，算法的执行时间的增长率 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间的复杂度，其中 f(n) 是问题规模n的某个函数。

    这样用大写 [ O( ) ] 来体现算法时间复杂度的记法，我们就称之为大O记法。例如：O(n)、O(1)、O(n2)、O(log n) 等等。一般情况下，随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为最优算法。

二、推导大O阶的方法

1，用时间1取代运算时间中的所有加法常数。

2，在修改后的运行的函数中，只保留最高阶项。

3，如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例1：时间复杂度为O(1)常数阶的算法

1 int sum = 0, n = 100;    /* 执行一次 */
2 sum = (1+n) *n/2;        /* 执行一次 */
3 printf("the sum is：%d",sum)；   /* 执行一次 */

　　我们可以看出运行次数的函数是 f(n) = 3。根据我们上面的大O阶公式 1 可以得到，把常数项 3 改为 1，在保留最高阶时发现没有最高阶项，所以时间复杂度为大 O(1)。也就是说，无论算法是 3 次还是 30 次，哪怕是 300 次，这些只要是常数项，它的时间复杂度都为大 O(1)，而不是O(3)、O(30)、O(300)。即我们称之为常数阶。

例2：时间复杂度为O(n)线性阶的算法

1 for(int i = 0; i < n; i++) 
2     sum += i;
3 

　　从上面的这段代码我们可以看出，它的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。

例3：时间复杂度为O(n²)平方阶的算法

1 for(int i = 0; i < n; i++) 
2     for(int j = i; j < n; j++) 
3         //时间复杂度为O(n2)
4     
5 

分析：

　　当 i = 0时，内循环执行了 n 次，

　　当 i = 1时，内循环执行了 n-1 次，

　　......

　　当 i = n-1时。执行了 1 次，

　　所以总的执行次数为：n = (n-1)+(n-2)+ ··· + 1= n(n+1)/2 = n²/2+n/2。

　　由上面的公式可得：第一条代码中没有加法常数项，不考虑；第二条只保留最高阶项，因此保留 n²/2；第三条去除这个项相乘的常数，所以去除了 1/2；最终我们得到的代码段时间复杂度就是 O(n²)。

例4：时间复杂度为O(log n)对数阶的算法

1 int count = 1;
2 while (count < n) 
3     count *= 2;
4 

　　上面代码我们可以看出，count = count * 2 之后就距离 n 更近一步，也就是说，有多少个 2 相乘后大于 n,就退出循环。所以我们可以由 2x = n 推导出 x = log2n ,像这样的循环时间复杂度，我们就称为对数阶的复杂度即为 O(log n)。

三、O阶算法效率排序

　　 数据结构中我们一般常用的时间复杂度表示有：O(1)、O(n)、O(n2)、O(log n)、O(nlog n)、O(n3)、O(2n)。

　　按时间复杂度所耗费的时间从大到小排序依次为：

　　O(1) < O(log n) < O(n) < O(nlog n) < O(n2) < O(n3) < O(2n)