四边形不等式与决策单调

Posted 2022-01-04 bhllx

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• 四边形不等式与决策单调
  • 四边形不等式
  • 一维线性DP的优化
  • 二维区间递推优化

四边形不等式与决策单调

四边形不等式

定义

存在二元函数\(w(x,y)\) ，其定义域为\(I\)，

若对于任意\(a,b,c,d\in I且a≤b≤c≤d\)，\(w(a,d)+w(b,c)≥w(a,c)+w(b,d)\)恒成立

则称\(w\)满足四边形不等式。

判定定理

若对于任意\(a,b\in I且a＜b\)，\(w(a,b+1)+w(a+1,b)≥w(a,b)+w(a+1,b+1)\)恒成立

则w满足四边形不等式。

可以感性理解一下吧：\(a<b\iff a<a+1≤b<b+1\)，只有等号问题并不影响。

一维线性DP的优化

转移模型

\[ f[i]=\min_0≤j<i\f[j]+w(j,i)\,w满足四边形不等式 \]

证明：

设k,k′为\(f[i]\)的决策点并满足条件\(0≤k′<k<i<i′\)′

不难得知

\(f[i]=f[k]+w(k,i)≤f[k′]+w(k′,i)\)

由四边形不等式得知

\(w(k′,i′)+w(k,i)≥w(k′,i)+w(k,i′)\)

两式相加有

\(f[k]+w(k,i′)≤f[k′]+w(k′,i′)\)

于是易知决策点k比k′更优，故得证。

实现

当前转移\(f[i]\),单调队列维护三元组\((l,r,p)\)，表示l~r的最优决策点目前为p。

1. 掐头，若\(r=i-1\),弹出，否则\(l=i\)

2. 取队首计算

3. 去尾,

   如果决策i在l处都比p优秀，则直接弹出p。

   如果决策i在r处都不如p优秀，则直接插入p。

   否则二分查找l~r中第一个可以让决策点i更优秀的位置

   更改队尾r，把新的三元组代表i的决策加入队列（注意有可能不能加入）

   ?

可以实现\(O(n^2)\to O(nlog_n)\) 。

二维区间递推优化

转移模型

\[ f[l][r]=\min_l≤k<r\f[l][k]+f[k+1][r]+w[l][r]\\f[i][j]=min_0≤k<i\f[i-1][k]+w(k+1,j)\\…… \]

定理：

没有证明。。

一：若对于上式中的w有

? ①w满足四边形不等式

? ②对于任意的\(a,b,c,d\in I且a≤b≤c≤d\) ，w满足\(w(a,d)≥w(b,c)\)

? 则f满足四边形不等式。

二：若f满足四边形不等式，则：

? 对于任意决策\(i<j\)，都有下列二者之一：
\[ p[i,j-1]≤p[i,j]≤p[i+1,j]\ (转移中i倒序枚举，j正序枚举)\p[i-1,j]≤p[i,j]≤p[i,j+1j]\ (转移中i正序枚举，j倒序枚举)\p为各个状态的最优决策 \]

实现

一般而言，都是直接把第三重循环的边界依情况改成上面的二式之一即可。

可以实现\(O(n^3)\to O(n^2)\) 。

对于此类优化，一般先大胆猜想，然后打表验证！！