网络流

Posted 2022-01-04 -hhs

一、概念

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网络流用于解决流量问题

网络流:所有弧上流量的集合f=f(u,v),称为该容量网络的一个网络流。

1、定义：带权的有向图G=(V,E)，满足以下条件，则称为网络流图(flow network)：

1. 仅有一个入度为0的顶点s，称s为源点。
2. 仅有一个出度为0的顶点t，称t为汇点。
3. 每条边的权值都为非负数，称为该边的容量，记作c(i,j)。

2、弧的流量:通过容量网络G中每条弧< u,v>,上的实际流量(简称流量),记为f(u,v)。

3、可行流:在容量网络G中满足以下条件的网络流f,称为可行流。

a.弧流量限制条件:   0<=f(u,v)<=c(u,v);

b:平衡条件:即流入一个点的流量要等于流出这个点的流量,(源点和汇点除外).

4、零流 若网络流上每条弧上的流量都为0,则该网络流称为零流。 

5、伪流:如果一个网络流只满足弧流量限制条件,不满足平衡条件,则这种网络流为伪流,或称为容量可行流.(预流推进算法有用)。

6、对于网络流图G，流量最大的可行流f，称为最大流。

7、弧的类型:

1. a.饱和弧:即f(u,v)=c(u,v);
2. b.非饱和弧:即f(u,v) < c(u,v)；
3. c.零流弧:即f(u,v)=0;
4. d.非零流弧:即f(u,v)>0.

8、链:

　　在容量网络中,称顶点序列(u1,u2,u3,u4,..,un,v)为一条链要求相邻的两个顶点之间有一条弧.

　　设P是G中一条从Vs到Vt的链,约定从Vs指向Vt的方向为正方向.在链中并不要求所有的弧的方向都与链的方向相同.

性质

1、对于任意一个时刻，设f(u,v)实际流量，则整个图G的流网络满足3个性质：

1. 容量限制：对任意u,v∈V，f(u,v)≤c(u,v)。
2. 反对称性：对任意u,v∈V，f(u,v) = -f(v,u)。从u到v的流量一定是从v到u的流量的相反值。
3. 流守恒性：对任意u，若u不为S或T，一定有∑f(u,v)=0，(u,v)∈E。即u到相邻节点的流量之和为0，因为流入u的流量和u点流出的流量相等，u点本身不会"制造"和"消耗"流量。

2、最大流最小割定理：一个图的最大流等于其最小割。（割掉每条可行流上的最小流量边）。