LCS的几种求法

Posted 2022-01-02 812-xiao-wen

\\(LCS:\\)

对于两个长度均为 \\(N\\) 的数列 \\(A\\) 和 \\(B\\) ，存在一个数列 \\(C\\) 使得 \\(C\\) 既是 \\(A\\) 的子序列有事 \\(B\\) 的子序列，现在需要求这个数列的最长的长度，这就是最长公共子序列。

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\\(solution\\quad 1:\\)

这道题是世界上最经典的DP题之一，我们可以知道我们做需要求的子序列中的任意一个元素在 \\(A\\) 和 \\(B\\) 中都存在，所以我们可以设出状态即 \\(F[i][j]\\) 表示我们已经匹配了 \\(A\\) 的前 \\(i\\) 位和 \\(B\\) 的前 \\(j\\) 位所得到的最长公共子序列。这样是很好写转移方程的：

\\(F[i][j]=max\\F[i-1][j-1]+[A[i]==B[j]]\\quad ,\\quad F[i-1][j] \\quad ,\\quad F[i][j-1] \\\\)

\\(code\\quad 1:\\)

#include<iostream>
using namespace std;
int f[1001][1001],a[2001],b[2001],n,m;
int main()
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        
    cout<<f[n][m];

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\\(solution\\quad2 :\\)

还有一种 \\(nlogn\\) 的算法，它的思路很奇妙，我们用数列 \\(A\\) 将数列 \\(B\\) 里的元素离散化，就是把数列 \\(B\\) 里的元素在改为这个元素在数列 \\(A\\) 中的位置（显然我们首先还要把两个数列中不公共的元素删除）。然后我们发现只要是此时数列 \\(B\\) 中的上升子序列，就是两个数列的公共子序列。于是题目就变成了最长上升子序列。

然后我们回顾一下之前讲的LIS（最长上升子序列）的三种经典求法，就不难写出这道题目了！

然后有一个需要注意的地方：这两个数列的元素可能出现重复（不过这应该不影响我们的算法），只是我们离散化时还要考虑一下相同元素的顺序。这里放的代码对应洛谷P1439 【模板】最长公共子序列 （博主用的方法对应上一章最长上升子序列的第三种求法）

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\\(code\\quad 2:\\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int

using namespace std;

int a[100001];
int b[100001];
int n,top,l,r,mid;

inline int qr()
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
    int res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+(ch^48);
    return res;


int main()
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
    n=qr();
    for(rg i=1;i<=n;++i) b[qr()]=i;
    for(rg i=1;i<=n;++i) a[i]=b[qr()];
    for(rg i=1;i<=n;++i)
        l=1;r=top;
        while(l<=r)
            mid=(l+r)>>1;
            if(b[mid]<=a[i])
                l=mid+1;
                continue;
            r=mid-1;
         b[l]=a[i];
        if(l>top)++top;
    printf("%d\\n",top);
    return 0;