线性dp决策优化CH5E02

Posted 2022-01-01 flashlizard

题面

给你一个n*m的矩阵，要求每一行选择一个数，并且第i行选择的位置a[i]一定要大于第i-1行选择的位置a[i-1]，求选取的数的总和为多少，输出一组字典序最小的a[1]到a[n]。1<=n<=m<=100

链接：http://contest-hunter.org/contest/0x5E

思路

首先dp的状态是显而易见的

\(f[i][j]=\max_i-1<=k<jf[i-1][k]+a[i][j]\)

表示选到第i行第j个数且一定会选这个数时的和的最大值。复杂度是\(O(n^3)\)，虽然可以过，但其实还可以优化可以发现k的范围是随j不断变大的，所以每一次循环i时设一个变量maxk，然后j每改变一次，就用f[i-1][j-1]更新一次maxk就可以了。

实际上这种优化相当于一个表示选到第i行第j个数且不一定会选这个数时的和的最大值的状态，只需要改一下转移方程就好了

\(f[i][j]=\max\f[i][j-1],f[i-1][j-1]+a[i][j]\?\)

至于到底怎么设好，因人而异了，只是有时候设第一种类型设多了，就不记得设第二种了@[email protected]，还是都练练为好。

#include <cstring>
using namespace std;
const int N=110;
typedef long long ll;
int p[N][N],a[N][N];
ll f[N][N];
void dfs(int i,int j)

    if(!i) return;
    dfs(i-1,p[i][j]);
    printf("%d ",j);

int main()

    int n,m,jj;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    memset(f,0xc0,sizeof(f));
    ll ans=f[0][0];
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        int maxi=f[i-1][i-1],ii=i-1;
        for(int j=i;j<=m;j++)
        
            f[i][j]=maxi+a[i][j];
            p[i][j]=ii;
            if(maxi<f[i-1][j]) maxi=f[i-1][j],ii=j;
        
    
    for(int i=n;i<=m;i++)
        if(ans<f[n][i]) ans=f[n][i],jj=i;
    printf("%lld\n",ans);
    dfs(n,jj);
    putchar('\n');
    return 0;