线性dp决策优化CH5E02

Posted 2021-12-30 flashlizard

题面

给你一个n*m的矩阵，要求每一行选择一个数，并且第i行选择的位置a[i]一定要大于第i-1行选择的位置a[i-1]，求选取的数的总和为多少，输出一组字典序最小的a[1]到a[n]。

范围

1<=n<=m<=100

思路

首先dp的状态是显而易见的

$f[i][j]=\max_i-1<=k<jf[i-1][k]+a[i][j]$

表示选到第i行第j个数且一定会选这个数时的和的最大值。复杂度是$O(n^3)$，虽然可以过，但其实还可以优化可以发现k的范围是随j不断变大的，所以每一次循环i时设一个变量maxk，然后j每改变一次，就用f[i-1][j-1]更新一次maxk就可以了。

实际上这种优化相当于一个表示选到第i行第j个数且不一定会选这个数时的和的最大值的状态，只需要改一下转移方程就好了

$f[i][j]=\max_i-1<=k<jf[i-1][k]+a[i][j]$

 

$f[i][j]=\max_i-1<=k<jf[i-1][k]+a[i][j]$

至于到底怎么设好，因人而异了，只是有时候设第一种类型设多了，就不记得设第二种了@[email protected]，还是都练练为好。