[AHOI2009]同类分布

Posted 2021-12-30 a1b3c7d9

[AHOI2009]同类分布

求区间\([l,r]\)内的数，满足自己能整除自己各个数位上的和的数的个数，\(l,r\leq 10^18\)。

解

不难得知设\(f_n\)为n以内的满足条件的数，答案即\(f_r-f_l\)，因为递推中要表现整除，可以考虑摸递推。

要表现各个数位的和，又要变现长度，而且还要表现摸数，还有余数，故设\(f[i][j][k][l]\)表示i位的数，各数位的和为j，摸数为k，余数为l的数的方案数，因此不难有

\[f[i][j][k][l]=\sum_p=0^9\f[i-1][j-p][k][(l-p)\%k]\\]

边界：\(f[0][0][k][0]=1,k=0,1,2,...,162\)

注意到空间开不下，而摸数不涉及转移，故可以压掉，于是我们可以枚举各位和，临时求递推方程，来进行试填，没有其他的什么细节了，因为时间复杂度理论是不能过了，注意看起来不起眼的剪枝。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
int num[20];
ll dp[20][200][200],base[20];
il ll ask(ll,int);
il int min(int,int);
template<class f1,class f2>
il f1 mod(f1,f2&);
int main()
    int i;ll ans(0),a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    for(i=base[0]=1;i<19;++i)base[i]=base[i-1]*10;
    for(i=1;i<163;++i)
        ans+=ask(b,i)-ask(a-1,i);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;

il int min(int a,int b)
    return a<b?a:b;

il ll ask(ll n,int k)
    ri int i,j,r;ri ll l;ll ans(0);
    memset(num,0,sizeof(num));
    memset(dp,0,sizeof(dp)),++n;
    while(n)num[++num[0]]=n%10,n/=10;
    dp[0][0][0]=1;
    for(i=0;i<num[0];++i)
        for(j=0;j<=k;++j)
            for(l=0;l<k;++l)
                if(dp[i][j][l])
                    for(r=0;r<10;++r)
                        dp[i+1][j+r][(l+r*base[i])%k]+=dp[i][j][l];
    r=k,l=0;
    for(i=num[0];i;--i)
        for(j=0;j<num[i]&&j<=r;++j)
            ans+=dp[i-1][r-j][mod(l-j*base[i-1],k)];
        r-=j,l=mod(l-j*base[i-1],k);
    return ans;

template<class f1,class f2>
il f1 mod(f1 x,f2 &y)
    return ((x%=y)+=y)%=y;