[SDOI2019] 热闹又尴尬的聚会

Posted 2021-12-29 nosta

热闹度\(p\)子图中最小的度数，尴尬度\(q\)独立集大小，之间的约束
\[ \beginaligned \lfloor n/(p+1)\rfloor\le q &\rightarrow \lceil(n-p-1+1)/(p+1)\rceil\le q\&\rightarrow \lceil(n-p)/(p+1)\rceil\le q\&\rightarrow (n-p)/(p+1)\le q\&\rightarrow n-p\le pq+q\&\rightarrow n<(p+1)(q+1) \endaligned \]

显然\(\lfloor n/(q+1)\rfloor\le p\)也能推出一样的不等式。

我们每次从图上选出度数最小的点，记录它的度数\(d_i\)并删除相邻的\(d_i\)个点，如此反复至无点可选，设进行了\(q\)次，显然

\[ \sum_i=1^q (d_i+1)=n \]

显然存在一个热闹度\(p\)是$\max d_i $的方案¹，那么
\[ (\max d_i+1)q\ge \sum_i=1^q(d_i+1)=n\rightarrow (\max d_i+1)(q+1)>n \]

是满足约束的。

神题啊神题，代码留坑

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1. 设在点\(x\)取到\(\max d_i\)，考虑将删除的与\(x\)相邻的那些点，显然它们的度数\(\ge\max d_i\)，故方案就是点\(x\)和与\(x\)相邻的这些点，热闹度\(p=\max d_i\)。?