Proximal Algorithms 2 Properties

Posted 2021-12-29 mtandhj

目录

• 可分和
• 基本的运算
• 不动点 fixed points
• Moreau decomposition

可分和

如果\(f\)可分为俩个变量:\(f(x, y)=\varphi(x) + \psi(y)\), 于是:

如果\(f\)是完全可分的，即\(f(x) = \sum_i=1^n f_i (x_i)\):
\[ (\mathbfprox_f(v))_i = \mathbfprox_f_i(v_i) \]

这个性质在并行算法的设计中非常有用。

基本的运算

如果\(f(x) = \alpha \varphi (x) + b\), \(\alpha > 0\):
\[ \mathbfprox_\lambda f (v) = \mathbfprox_\alpha \lambda \varphi (v) \]

如果\(f(x) = \varphi (\alpha x +b)\), \(\alpha \ne 0\):

证：
\[ \beginarrayll \mathbfprox_\lambda f(v) &= \mathrmargmin_x \varphi(\alpha x+b) +\frac12\lambda\|x-v\|_2^2 \&= \mathrmargmin_x \varphi(z) + \frac12\lambda\|(z-b)/\alpha -v\|_2^2 \&= \mathrmargmin_x \varphi(z) + \frac12\lambda \alpha^2\|z-b -\alpha v\|_2^2 \&= \frac1\alpha (\mathbfprox_\alpha^2 \lambda \varphi(\alpha v + b) - b) \endarray \]
其中\(z=\alpha x+b\),证毕.
如果\(f(x) = \varphi(Qx)\)，且\(Q\)为正交矩阵:
\[ \mathbfprox_\lambda f (v) = Q^T \mathbfprox_\lambda \varphi(Qv) \]

如果\(f(x) = \varphi(x) + a^Tx + b\)，则:
\[ \mathbfprox_\lambda f(v) = \mathbfprox_\lambda \varphi (v-\lambda a) \]
证:
\[ \beginarrayll \mathbfprox_\lambda f(v) &= \mathrmargmin_x \varphi (x) + a^Tx + b + \frac12\lambda \|x-v\|_2^2 \&= \mathrmargmin_x \varphi(x) +\frac12 \lambda (x^Tx -2v^Tx+2\lambda a^Tx)+c \&= \mathrmargmin_x \varphi(x) + \frac12 \lambda \|x-(v-\lambda a)\|_2^2 \&= \mathbfprox_\lambda \varphi(v-\lambda a) \endarray \]
其中\(c\)为与\(x\)无关的项.

如果\(f(x) = \varphi(x) + (\rho/2) \|x -a \|_2^2\), 则:
\[ \mathbfprox_\lambda f (v) = \mathbfprox_\widetilde\lambda\varphi\big((\widetilde\lambda/\lambda)v + (\rho \widetilde\lambda)a \big) \]
其中\(\widetilde\lambda = \lambda / (1+\lambda \rho)\)，证明方法和上面是类似的，重新组合二次项就可以了.

不动点 fixed points

点\(x^*\)最小化\(f\)当且仅当:
\[ x^* = \mathbfprox_f (x^*) \]
这说明，\(x^*\)是\(\mathbfprox_f\)的一个不动点，这个性质对于\(\lambda f\)也是成立的.

压缩映射的定义:
考虑映射\(T: (X, \rho) \rightarrow (X, \rho)\). 如果存在\(0 < a < 1\)使得对任意的\(x, y \in X\)有:
\[ \rho (Tx, Ty) < a \rho(x, y) \]
则称函数\(T\)是\((X, \rho)\)到自身的压缩映射.

如果\(\mathbfprox_f\)是一个压缩映射，那么显然，如果我们想要找出最小化\(f\)的\(x^*\)，可以用下式迭代：
\[ x^n+1 = \mathbfprox_f(x^n) \rightarrow x^* \]
比如\(\mathbfprox_f\)满足\(L<1\)的Lipschitz条件.

近端算子有这个性质:

这儿有关于这块内容的讨论.

\(x = \mathbfprox_f(v) \Leftrightarrow v-x \in \partial f(x)\)，其中\(\partial\)表示次梯度.
设\(u_1 = \mathbfprox_f(x), u_2 = \mathbfprox_f(y)\),则:
\[ x - u_1 \in \partial f(u_1) \y - u_2 \in \partial f(u_2) \]
因为\(f\)是凸函数，所以\(\partial f\)是单调增函数:
\[ <x - u_1 - (y-u_2), u_1-u_2> \ge 0 \\Rightarrow \|u_1 - u_2\|_2^2 \le (x-y)^T(u_1-u_2) \]
上面的单调增函数，翻译的估计不对，主要是我对这方面的只是也不了解，原文用的是monotone mapping, 我们来看凸函数\(f(x)\):
\[ f(y) \ge f(x) + \partial f(x)^T (y-x) \f(x) \ge f(y) + \partial f(y)^T(x-y) \]
相加即得：
\[ (\partial f(x) - \partial f(y))^T (x-y) \ge 0 \]
还有严格凸的情况下有个特殊情况，这个怎么证明啊...而且，似乎在不是严格凸的，利用上面的迭代公式也是能够收敛到不动点的，可似乎不满足不动点定理啊.

而且作者将这个与平均算子(averaged operators)联系起来:
\[ T = (1-\alpha)I+\alpha N, \alpha \in (0, 1) \]
以及迭代公式:
\[ x^k+1:=(1-\alpha ) x^k + \alpha N \]

Moreau decomposition

有以下事实成立:

以下的证明是属于

沿用其符号，令（注意是\(\inf\)不是\(\mathrmargmin\)）
\[ f_\mu(x) = \inf_y \f(y) + \frac1\mu \|x-y\|_2^2\ \]
我们可以其改写为:

注意\(-\sup A=\inf -A\)
假设\(f\)是凸函数且可微的,那么:
\[ f^*(y)=x^*^T \nabla f(x^*) - f(x^*) \]
其中，\(x\)满足:\(y=\nabla f(x^*)\)。于是(注意\(\nabla f(x^*)=y\), 且上式是关于\(y\)求导):
\[ \nabla f^* (y) = x^* \]
这就是\(\nabla f_\mu (x)\)的由来.

我们再来看其对偶表示:

其拉格朗日对偶表示为：

如果满足强对偶条件:

所以:
\[ f_\mu(x) = \frac12 \mu \|x\|^2-\frac1\mu(\mu f+\frac12\|\cdot\|^2)^*(x) =(f^* + \frac\mu2 \|\cdot\|^2)^*(x) \\Rightarrow \frac12\|x\|^2= ( \mu f + \frac12\|\cdot\|^2)^*(x)+\mu (f^*+\frac\mu2\|\cdot\|^2)^*(x) \\Rightarrow x= \mathbfprox_\mu f(x) + \mu\mathbfprox_\frac1\muf^*(\fracx\mu)=x = \mathbfprox_\mu f(x) + \mathbfprox_(\mu f)^*(x) \]
最后一步的结果通过对上式俩边求导得到的，不知道对不对，但是\(\mu=1\)的时候，下式是一定成立的:
\[ x = \mathbfprox_f(x) + \mathbfprox_f^*(x) \]