POJ2955 Brackets 题解 区间DP

Posted 2021-12-28 mooncode

题目链接：http://poj.org/problem?id=2955
【题目描述】
《规则的括号序列》
我们定义一个字符串序列为“规则的括号序列”当且仅当它满足如下条件：
1、空字符串是规则的括号序列；
2、如果字符串 s 是一个规则的括号序列，那么 (s) 和 [s] 也是规则的括号序列；
3、如果字符串 a 和 b 都是规则的括号序列，那么 ab 也是规则的括号序列；
4、除此之外的字符串都不能称为规则的括号序列。
举个例子，下面的这些字符串都是规则的括号序列：
(), [], (()), ()[], ()[()]
与此同时，下面的这些字符串都不是规则的括号序列：
(, ], )(, ([)], ([(]
给你一个字符串 a1a2...an，你的任务是找到它的最长的一个满足“规则的括号序列”条件的子序列，并输出该最长规则括号子序列的长度。也就是说，你需要找到最长的一组下表i1,i2,...,im，他们满足1≤i1<i2<...<im≤n，同时ai1aid...aim是规则的括号序列。
比如，给你一个字符串 ([([]])] ，它的最长规则的括号子序列是 [([])]。
【输入格式】
输入包含多组样例。每组样例占据一行，包含一个字符串，该字符串仅由 (,),[,]组成。字符串的长度在1到100之间。
输入数据的最后一行包含一个字符串“end”用于标识文件结束。
【输出格式】
对于每一组数据（除了最后的“end”），你需要输出它的最长规则的括号子序列的长度。
【样例输入】
((()))
()()()
([]])
)[)(
([][][)
end
【样例输出】
6
6
4
0
6
【题目分析】
涉及的知识点：区间动态规划（区间DP）。
为了方便起见，我们这里将“最长规则的括号序列”简称为“目标序列”。
我们用 dp[L][R] 表示 字符串 s 的子串 s[L..R] ，那么：
· 首先我们要确定，如果字符串 s 是空串，或者它的长度为1，那么它的目标序列的长度肯定是 0 ；
· 如果字符串 s 的长度为2， 那么当 s=="()" 或者 s=="[]" 的时候，它的目标序列的长度就是它本身的长度——2；否则，它的目标序列的长度为0。
· 当 s[L]==‘(‘ 并且 s[R]==‘)‘ 或者 s[L]==‘[‘ 并且 s[R]==‘]‘ 的时候， dp[L][R] 的一种备选方案（称为第1中备选方案）是 dp[L+1][R-1] + 2；
· 不过 (s‘) 或者 [s‘] （这里 s‘ 用于表示 s[L+1 .. R-1] 的目标序列）条件不一定是成立的，所以任何条件下都成立的一种备选方案（称为第2种备选方案）是 max(dp[L+1][R], dp[L][R-1]) ，即我们剔除掉最左边的字符串，或者最右边的字符串所能够带来的效果；
· 还有一种情况是字符串 s[L..R] 是两个字符串拼接而成的，那么这种情况下，它的一种备选方案（称为第3种备选方案）是 max(dp[L][i] + dp[i+1][R]) ，其中 L+1≤i<R-1。
然后我们发现还可以合并第2种备选方案到第3中备选方案中，因为 max(dp[L+1][R], dp[L][R-1]) 其实就等于 max(dp[L][i] + dp[i+1][R]) ，其中 i=L或R-1。
所以第2及第3中备选方案合并到一起就是 max(dp[L][i] + dp[i+1][R]) ，其中 L≤i<R。
据此，我们可以编写代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 101;
int n, dp[maxn][maxn];
string s;

int main() 
    while ((cin >> s) && s != "end") 
        fill(dp[0], dp[0]+maxn*maxn, 0);
        n = s.length();
        for (int l = 2; l <= n; l ++) 
            for (int i = 0; i+l-1 < n; i ++) 
                int j = i + l - 1;
                if (s[i] == ‘(‘ && s[j] == ‘)‘ || s[i] == ‘[‘ && s[j] == ‘]‘)
                    dp[i][j] = (l > 2 ? dp[i+1][j-1] : 0) + 2;
                for (int k = i; k < j; k ++)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);
            
        
        cout << dp[0][n-1] << endl;
    
    return 0;