HDU2204Eddy's爱好

Posted 2021-12-28 wzj-xhjbk

题目大意：求从 1 到 N 中共有多少个数可以表示成 \(M^K,K \gt 1\)。\(N \le 1e18\)

题解：
发现 N 很大，若直接枚举 M 的话有 1e9 级别的数据量，肯定超时，因此考虑枚举幂次。发现对于幂次为 k 的符合条件的数有 N 开 K 次方下取整个，同时注意到 k 的取值范围最大为 60，因为 2 的 60 次方为 1e18 级别。因此考虑从小到大进行枚举幂次即可，但是发现有些数字会产生重复，如：\((2^3)^2=(2^2)^3=2^6\)，即：同一个数字被计入了三次贡献，因此涉及到了容斥原理，即：若幂次的质因子分解为奇数个时累加贡献，反之减去贡献，因此只需对 1-60 中的素数进行容斥操作即可，即：问题转化成了多重集合的组合问题。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=61;
typedef long long LL;

LL n;
int prime[]=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61;

void solve()
    LL ans=0;
    int ub=0;
    while((1LL<<prime[ub+1])<=n)++ub;
    for(int i=1;i<1<<ub;i++)
        LL ret=1;
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<ub;j++)
            if(i>>j&1)
                ++cnt,ret*=prime[j];
            
        if(cnt&1)ans+=(LL)(pow(n,1.0/ret)+1e-8);
        else ans-=(LL)(pow(n,1.0/ret)+1e-8);
    
    printf("%lld\n",ans+1);

int main()
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
        solve();
       
    return 0;