SGU495Kids and Prizes 数学期望

Posted 2021-12-28 guangheli

题意：

有n个奖品，m个人排队来选礼物，对于每个人，他打开的盒子，可能有礼物，也有可能已经被之前的人取走了，然后把盒子放回原处。为最后m个人取走礼物的期望。

题解：

本道题与之前的一些期望 DP 题目相比不同的是我们知道初始状态，却不知道终止状态. (第一个人一定会拿走一个礼物，而最后一个人不一定).

我们考虑顺推.

设 $F[i]$ 表示前 $i$ 个人拿完礼物的期望个数.
分类讨论一下，考虑第 $i$ 个人的情况.
$1.$ 没礼物可拿，期望为 $0$.
$2.$ 有礼物拿， 概率为 $\fracn-F[i-1]n$ , 权值为 $1$.
故 $F[i]=\fracn-F[i-1]n+F[i-1]$.
递推求解即可.
似乎逆推也可以做，不过好像有点不好想......
代码挺短的，就不贴了......