二叉树性质

Posted 2021-12-24 lely

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2^i-1 (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
        (01) 当i=1时，第i层的节点数目为2^i-1=2⁰=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
        (02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2^i-1。这个是根据(01)推断出来的！
               下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2ⁱ"即可。
                由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2^i-1=2ⁱ。
                故假设成立，原命题得证！