解决动态连通性——并查集

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了解决动态连通性——并查集相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

先贴一个大佬的文章,解释有趣简单,非常适合新人~

大佬tql

不过这个原帖的阅读量还没有几个转发的高……唉

 

  什么是并查集?并查集是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。在实际解决问题的过程中并查集的应用广泛,但主要还是用来判断两点是否联通,以及寻找一个节点的祖先。

  下面我们通过一个例子来简单了解一下并查集。

houge,hiang,revolver是UJN的三名大一新生。其中,houge和hiang在计1801班,班长是宋同学,班主任是曲老师;revolver在计1802班,班长是张同学,班主任是王老师,我们就可以据此得到一个关系图

技术图片

 现在我们想找一下houge和revolverz的最大的上级:首先houge的直接上级是宋同学,宋同学的上级是曲老师;revolverz的直接上级是张同学,张同学的上级是王老师。这样一来,我们的任务就完成了。但是我们每次想要找一个同学最大的上级的时候都需要经过中间人,这样太麻烦了,我们不如把每个同学的直接上级都改为他的最大上级,这样就方便了许多。

技术图片

 改完之后我们发现houge,hiang和revolverz虽然在一个队伍里,却不在一个班级里,好在大二分流之后重新分班,要把计1802的同学全部加入到计1801里。我们把计1802班级里的所有人的上级,都改为曲老师,这样R神就和我们一个班了!但是有什么用呢?他已经退役了。技术图片

 我们还会发现王老师的上级竟然变成了曲老师,没办法,谁让计1802班合并了呢 XD

 

上面这个过程就简单实现了并查集的三个操作:查询、路径压缩和合并。

下面我们试着用代码来实现上面的过程。

 

一、查询

首先我们需要一个数组pre[]来记录当前结点的父结点,如该结点没有父结点,我们让pre[this]等于它本身。如对于上面的例子,我们可以赋值:pre[1]=pre[2]=4,pre[4]=6,pre[6]=6,pre[3]=5,pre[5]=7,pre[7]=7。

若要查询一个结点的根结点,我们要查询它的父结点,在查询父结点的父结点……直到一个结点的父结点就是他本身为止(pre[i]=i),代码如下:

1 int union_find(int x)
2 
3     int r=x;
4     while(r!=pre[r])
5     
6         r=pre[r];
7     
8     return r;
9 

同时我们也可以查询两个不同的结点是否在同一个通路里面,只需要判断一下两个结点的根结点是否相同即可,这一步的代码与合并一起在下面给出。

 

二、路径压缩

虽然查询操作的耗时不算大,但是当你的一个结点和它的根结点之间有很多的中间结点,而且查询的次数非常多的时候,就可能会耗费非常多的时间。那么我们可以在每一次的查询过程中,都进行路径压缩,把一个结点的父结点直接改为根结点,来达到防止浪费时间的目的。

 1 int union_find(int x)
 2 
 3     int r=x;
 4     while(r!=pre[r])
 5     
 6         r=pre[r];
 7     
 8     int i=x,j;
 9     while(pre[i]!=r)    //路径压缩
10     
11         j=pre[i];
12         pre[i]=r;
13         i=j;
14     
15     return r;
16 

 

三、合并

对于两个在不同通路的结点,若想把它们合并为一个通路,只需要把一个结点设为另一个点的父结点即可(无特殊需要,没有顺序要求)。

1 void join(int a,int b)
2 
3     int u,v;
4     u=union_find(a);
5     v=union_find(b);
6     if(u!=v) pre[u]=v;
7 

这样我们就把并查集的基本功能都实现了,下面来看一些题目。

 

四、相关应用及题目

1.例题 Luogu P3367【模板】并查集

代码:

技术图片
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int pre[10005];
 6 
 7 int union_find(int x)
 8 
 9     int r=x;
10     while(r!=pre[r])
11     
12         r=pre[r];
13     
14     int i=x,j;
15     while(pre[i]!=r)
16     
17         j=pre[i];
18         pre[i]=r;
19         i=j;
20     
21     return r;
22 
23 
24 void join(int a,int b)
25 
26     int u,v;
27     u=union_find(a);
28     v=union_find(b);
29     if(u!=v) pre[u]=v;
30 
31 
32 int main()
33 
34     int n,m;
35     scanf("%d%d",&n,&m);
36     for(int i=0;i<=n;i++) pre[i]=i;
37     while(m--)
38     
39         int x,y,z;
40         scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
41         if(z==1) join(x,y);
42         else
43         
44             int a,b;
45             a=union_find(x);
46             b=union_find(y);
47             if(a==b) printf("Y\\n");
48             else printf("N\\n");
49         
50     
51     return 0;
52 
Luogu P3367

 

 

2.最小生成树——Kruskal

在Kruskal中我们利用并查集来判断目前所选边的两点是否已经连通。

相关链接:求最小生成树——Kruskal

 

五、其他题目

 

 

Author : Houge  Date : 2019.6.4

Update log : 

以上是关于解决动态连通性——并查集的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

并查集(Union-Find)

并查集解决图论问题(连通性及有无圈存在)

并查集详解

板+并查集判断连通性并查集判断连通性

原创并查集之扩展域与边带权

并查集