[清华集训]序列操作

Posted 2021-12-21 mrclr

嘟嘟嘟


此题以前觉得不可做的原因是当时组合数方面几乎啥也不会，现在对这题算是理解了（然而还是看了题解）。


因为\(c \leqslant 20\)，因此可以把每一个\(c\)的答案都存下来，即每一个节点开一个长度为20的数组，\(f[i]\)表示当前区间选\(i\)个数相乘的所有方案和。


1.区间取反。
那么偶数项不变，奇数项取反。
2.区间加。
即一个序列\(a_1, a_2, a_3 \ldots a_n\)变成了\(a_1 + c, a_2 + c, a_3 + c \ldots a_n + c\)。
考虑加上这个\(c\)后\(f(x)\)的变化，能搞出这么个式子：\[f'(x) = \sum _ i = 0 ^ x f(i) * c ^ x - i * C_len - i ^ x - i\]（\(f'(x)\)表示新的\(f(x)\)，不是\(f(x)\)的导数……）
理解起来就是我们把\(f(x)\)的每一项拆开，然后发现每一项都是由\(f(i) * c ^ x - i\)构成的，所以枚举\(i\)。因为是任意取的\(x\)项，所以\(f(i)\)和\(c ^ x - i\)都是任意取的，而\(f(i)\)本身就表示任意取\(i\)项，所以只用考虑剩下\(x - i\)个\(c\)怎么取，自然有\(C_len - i ^ x - i\)种取法。
这样pushdown就完事了。


最后剩一个pushup。只要枚举左右区间的项数，然后相乘即可：\[f(i) = \sum _ j = 0 ^ i f_ls (j) * f_rs (i - j)\]
到这里这题就没了。细节就是啥都可能是负数，得加模数变回正的……

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 5e4 + 5;
const int N = 20;
const ll mod = 19940417;
In ll read()

  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;

In void write(ll x)

  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');

In void MYFILE()

#ifndef mrclr
  freopen(".in", "r", stdin);
  freopen(".out", "w", stdout);
#endif


char s[2];
int n, m;

In ll inc(ll a, ll b) return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;
ll C[maxn][N + 2];
In void init()

  C[0][0] = 1;
  for(int i = 1; i < maxn; ++i)
    
      C[i][0] = 1;
      for(int j = 1; j <= min(i, N); ++j) C[i][j] = inc(C[i - 1][j - 1], C[i - 1][j]);
    


struct Tree

  int l, r, lzy, rev;
  ll f[N + 2];
  In Tree operator + (const Tree& oth)const
  
    Tree ret; Mem(ret.f, 0);
    ret.l = l, ret.r = oth.r;
    ret.lzy = ret.rev = 0;
    for(int i = 0; i <= min(ret.r - ret.l + 1, N); ++i)
      for(int j = 0; j <= i; ++j)
    ret.f[i] = inc(ret.f[i], f[j] * oth.f[i - j] % mod);
    return ret;
  
t[maxn << 2];
In void build(int L, int R, int now)

  t[now].l = L, t[now].r = R;
  if(L == R)
    
      t[now].f[1] = inc(mod, read()), t[now].f[0] = 1;
      return;
    
  int mid = (L + R) >> 1;
  build(L, mid, now << 1);
  build(mid + 1, R, now << 1 | 1);
  t[now] = t[now << 1] + t[now << 1 | 1];

In void change_rev(int now)

  t[now].rev ^= 1, t[now].lzy = mod - t[now].lzy;
  for(int i = 1; i <= N; i += 2) t[now].f[i] = mod - t[now].f[i];

In void change_add(int now, int d)

  t[now].lzy = inc(t[now].lzy, d); if(t[now].lzy < 0) t[now].lzy += mod;
  int len = t[now].r - t[now].l + 1;
  for(int i = min(len, N); i >= 0; --i)
    
      for(int j = i - 1, c = d; j >= 0; --j, c = 1LL * c * d % mod)
    
      t[now].f[i] = inc(t[now].f[i], t[now].f[j] * c % mod * C[len - j][i - j] % mod);
      if(t[now].f[i] < 0) t[now].f[i] += mod;
    
    

In void pushdown(int now)

  if(t[now].rev)
    
      change_rev(now << 1), change_rev(now << 1 | 1);
      t[now].rev = 0;
    
  if(t[now].lzy)
    
      change_add(now << 1, t[now].lzy), change_add(now << 1 | 1, t[now].lzy);
      t[now].lzy = 0;
    

In void update(int L, int R, int now, int d)

  if(t[now].l == L && t[now].r == R)
    
      d == INF ? change_rev(now) : change_add(now, d);
      return;
    
  pushdown(now);
  int mid = (t[now].l + t[now].r) >> 1;
  if(R <= mid) update(L, R, now << 1, d);
  else if(L > mid) update(L, R, now << 1 | 1, d);
  else update(L, mid, now << 1, d), update(mid + 1, R, now << 1 | 1, d);
  t[now] = t[now << 1] + t[now << 1 | 1];

In Tree query(int L, int R, int now)

  if(t[now].l == L && t[now].r == R) return t[now];
  pushdown(now);
  int mid = (t[now].l + t[now].r) >> 1;
  if(R <= mid) return query(L, R, now << 1);
  else if(L > mid) return query(L, R, now << 1 | 1);
  else return query(L, mid, now << 1) + query(mid + 1, R, now << 1 | 1);


int main()

  MYFILE();
  init();
  n = read(), m = read();
  build(1, n, 1);
  for(int i = 1; i <= m; ++i)
    
      scanf("%s", s); int L = read(), R = read();
      if(s[0] == 'I') update(L, R, 1, read());
      else if(s[0] == 'R') update(L, R, 1, INF);
      else write(query(L, R, 1).f[read()]), enter; 
    
  return 0;