P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎(拉格朗日插值）

Posted 2021-12-20 zhangbuang

题目描述

小豆喜欢玩游戏，现在他在玩一个游戏遇到这样的场面,每个怪的血量为aia_iai?，且每个怪物血量均不相同，小豆手里有无限张“亵渎”。亵渎的效果是对所有的怪造成111点伤害，如果有怪死亡，则再次施放该法术。我们认为血量为000怪物死亡。

小豆使用一张 “亵渎”会获得一定的分数，分数计算如下，在使用一张“亵渎”之后，每一个被亵渎造成伤害的怪会产生xkx^kxk,其中xxx是造成伤害前怪的血量为xxx和需要杀死所有怪物所需的“亵渎”的张数kkk。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入一个TTT(T≤10T\leq10T≤10)，表示有多少组测试数据

每组组测试数据第一行为nnn，mmm，表示有当前怪物最高的血量nnn，和mmm种没有出现的血量

接下来mmm行，每行111个数aia_iai?，表示场上没有血量为aia_iai?的怪物

输出格式：

一共TTT行，每行一个数， 第iii行表示第iii组测试数据中小豆的最后可以获得的分数, 因为这个分数会很大需要模109+710^9+7109+7

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
10 1
5
4 2
1
2

输出样例#1： 复制

415
135

说明

对于10%10\%10%的数据，有m=0m=0m=0

对于20%20\%20%的数据，有m≤1m\leq1m≤1

对于30%30\%30%的数据，有m≤2m\leq2m≤2

对于40%40\%40%的数据，有m≤3m\leq3m≤3

对于50%50\%50%的数据，有m≤4m\leq4m≤4

对于60%60\%60%的数据，有m≤5m\leq5m≤5

对于100%100\%100%的数据，有m≤50m\leq50m≤50

对于100%100\%100%的数据，有n≤1013n\leq10^13n≤1013。

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出题的是个sb，题意都说不清楚，醉了。

这题的最后答案的柿子很好写，这里就不说，关键就是如何求自然数幂和，

比如sigmg （i^(m))   这里是i的m次方，那和函数应该是一个m+1次的函数，那需要m+2点去

确定这个多项式。

然后若果x坐标是连续的，那可以先把所有的乘起来，在除以每一个对应的逆元，

对于分母，可以预处理阶乘，

特判一个分母的正负

---

---

---

---

 

‘’

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 6 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 7 #define LL long long
 8 #define re register
 9 #define maxn
10 const LL mod=1e9+7;
11 inline LL read() 
12     LL x=0;char c=getchar();while(c<‘0‘||c>‘9‘) c=getchar();
13     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
14 
15 int T;
16 LL n,m,fac[55],a[55];
17 inline LL quick(LL a,LL b) LL S=1;while(b) if(b&1ll) S=S*a%mod;b>>=1ll;a=a*a%mod;return S;
18 inline LL calc(LL n,int m) 
19     if(n<=m+2) 
20         LL ans=0;
21         for(re int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+quick(i,m)%mod)%mod;
22         return ans;
23     
24     LL ans=1,now=0,tot=0;
25     for(re int i=1;i<=m+2;i++)
26         ans=(ans*(n-i+mod)%mod)%mod;
27     for(re int i=1;i<=m+2;i++) 
28         now=now+quick(i,m);now%=mod;
29         LL t=ans*quick((n-i+mod)%mod,mod-2)%mod,q=quick(fac[m+2-i]*fac[i-1]%mod,mod-2);
30         if((m+2-i)&1) tot-=now*t%mod*q%mod;
31             else tot+=now*t%mod*q%mod;
32         tot+=mod;tot%=mod;
33     
34     return tot;
35 
36 int main() 
37     T=read();fac[0]=1;
38     for(re int i=1;i<=54;i++) fac[i]=(fac[i-1]*(LL)i)%mod;
39     while(T--) 
40         n=read(),m=read();
41         for(re int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();
42         std::sort(a+1,a+m+1);
43         LL ans=0;
44         for(re int i=0;i<=m;i++) 
45             ans+=calc(n-a[i],m+1);ans%=mod;
46             for(re int j=i+1;j<=m;j++)
47                 ans=(ans-quick(a[j]-a[i],m+1)%mod+mod)%mod;
48         
49         printf("%lld\n",ans);
50     
51     return 0;
52 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 6 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
 7 #define LL long long
 8 #define re register
 9 #define maxn
10 const LL mod=1e9+7;
11 inline LL read() 
12     LL x=0;char c=getchar();while(c<‘0‘||c>‘9‘) c=getchar();
13     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
14 
15 int T;
16 LL n,m,fac[55],a[55];
17 inline LL quick(LL a,LL b) LL S=1;while(b) if(b&1ll) S=S*a%mod;b>>=1ll;a=a*a%mod;return S;
18 inline LL calc(LL n,int m) 
19     if(n<=m+2) 
20         LL ans=0;
21         for(re int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+quick(i,m)%mod)%mod;
22         return ans;
23     
24     LL ans=1,now=0,tot=0;
25     for(re int i=1;i<=m+2;i++)
26         ans=(ans*(n-i+mod)%mod)%mod;
27     for(re int i=1;i<=m+2;i++) 
28         now=now+quick(i,m);now%=mod;
29         LL t=ans*quick((n-i+mod)%mod,mod-2)%mod,q=quick(fac[m+2-i]*fac[i-1]%mod,mod-2);
30         if((m+2-i)&1) tot-=now*t%mod*q%mod;
31             else tot+=now*t%mod*q%mod;
32         tot+=mod;tot%=mod;
33     
34     return tot;
35 
36 int main() 
37     T=read();fac[0]=1;
38     for(re int i=1;i<=54;i++) fac[i]=(fac[i-1]*(LL)i)%mod;
39     while(T--) 
40         n=read(),m=read();
41         for(re int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();
42         std::sort(a+1,a+m+1);
43         LL ans=0;
44         for(re int i=0;i<=m;i++) 
45             ans+=calc(n-a[i],m+1);ans%=mod;
46             for(re int j=i+1;j<=m;j++)
47                 ans=(ans-quick(a[j]-a[i],m+1)%mod+mod)%mod;
48         
49         printf("%lld\n",ans);
50     
51     return 0;
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