树状数组（Binary Indexed Tree）

Posted 2021-12-19 qbits

特点

树状数组常用于查询前缀和，前缀和通过差分可以得到区间和，并支持单点修改
单点修改和查询前缀和的时间复杂度均为\(O(n\log_2 n)\)

数据结构与基本操作

假定有\(a_1, a_2, ..., a_n\)共n个数，我们使用数组bit[n+1] = 0, 其中0位置不存储任何信息，仅作为边界判断

i最低位的2的幂

int lowbit(int i) return i & (-i);

前缀和

int sum(int i)
    int r = 0;
    while(i > 0)
        r += bit[i];
        i -= lowbit(i)
    

    return r;

单点修改

    void update(int i, int d)
        while(i <= n)
            bit[i] += d;
            i += lowbit(i)
        
    

初始化

    for(int i = 0; i < a.size(); i++)
        update(i + 1, a[i]);

经典例题

模板题

307. Range Sum Query - Mutable
493. Reverse Pairs

离散化

315. Count of Smaller Numbers After Self
327. Count of Range Sum