乘法逆元

Posted 2021-12-16 darlingroot

（我实在是太...（才明白这个qwq

 

一、前置知识

定义1：给定正整数m，若用m除两个整数a和b所得的余数相同，称a和b对模m同余，记作a≡b（mod m），并称该式子为同余式；否则称a和b对模m不同余

 

二、乘法逆元

若整数b,p互质，并且b|a，则存在一个整数x，使得　　（a/b）≡ a * x (mod p)

称x为b的模p乘法逆元，记为　　b^-1（mod p）

因为　　a / b ≡ a * b^-1 ≡ (a / b) * b * b^-1 (mod p)

所以　　b * b^-1 ≡ 1(mod p)

如果p是质数，并且b < p

根据费马小定理

b^{p - 1} ≡ 1(mod p)，即　　b * b^{p - 2} ≡ 1 (mod p)

因此，当模数p为质数时，b^{p - 2}即为b的乘法逆元

如果只保证b,p互质

那么乘法逆元可以通过求解同余方程　　b * x ≡ 1(mod p)　　来得到