感知神经网络模型与学习算法

Posted 2021-12-15 gshang

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单层感知器

该概念的是在1957年美国学者Rosenblatt提出的。

感知器是监督学习的神经网络模型。单层感知器是包含一个突触权值可调的神经元的感知器模型。是神经网络用来进行模式识别的一种最简单的模型，属于前向神经网络类型，但是仅由一个神经元组成的单层感知器只能区分线性可分的模式。

一个感知器模型，包括一个线性的累加器和一个二值阈值元件，同时还有一个外部偏差 \\(b\\) ，也称作阈值，其值可以为正，也可以为负。线性累加器的输出与偏差 \\(b\\) 的和作为二值阈值元件的输入，这样当二值阈值原件的输入是正数时，神经元就产生输出+1，反之，若输入是负数，则产生输出-1

在 \\(m\\) 维空间，单层感知器进行模式识别的判决超平面由下面的式子决定：
\\[ \\sum_i=1^m \\omega_i x_i+b=0 \\]
决定判别边界超平面的形状的主要参数是权值向量 \\(\\vec\\omega\\) 其训练过程就是找到适合的学习算法可以训练出满意的权值向量。

在20世纪60年代初期，Rosenblatt等就给出了严格的数学证明对线性可分的样本，算法一定是收敛的，就是说 \\(\\vec\\omega\\) 一定存在，否则，判别边界会产生振荡，导致 \\(\\vec\\omega\\) 不能收敛。

单层感知器的学习算法

该学习算法是基于迭代思想，通常是采用误差校正学习规则的学习算法。将偏差b作为神经元突触全职向量的第一个分量加到权值向量中去，那么对应的输入向量也应增加一项，可设输入向量的第一个分量固定为+1，这样输入向量和权值向量可分别写成如下的形式：
\\[ X(n)=\\left(+1, x_1(n), x_2(n), \\cdots, x_m(n)\\right)^T \\]

\\[ W(n)=\\left(b(n), \\omega_1(n), \\omega_2(n), \\cdots, \\omega_m(n)\\right) \\]
其中 \\(n\\) 为迭代次数。\\(b(n)\\) 可用 \\(\\omega_0(n)\\) 来表示，于是，二值阈值元件的输入可重新写为：
\\[ v=\\sum_i=0^m \\omega_i(n) x_i(n)=W^T(n) X(n) \\]

具体学习算法如下：

1. 设置变量和参量
   \\(X(n)=\\left(1, x_1(n), x_2(n), \\cdots, x_m(n)\\right)\\) 即训练样本。
   \\(W(n)=\\left(b(n), \\omega_1(n), \\omega_2(n), \\cdots, \\omega_m(n)\\right)\\) 为权值向量。
   \\(b(n)\\) 为偏差 \\(f(? )\\) 为激活函数， \\(y(n)\\) 为网络实际输出，\\(d(n)\\) 为期望输出，\\(\\eta\\) 为学习速率，\\(n\\) 为迭代次数，\\(e\\) 为实际输出与期望输出的误差。

2. 初始化，给权值向量 \\(\\omega_0(n)\\) 的各个分量赋一个较小的随机非零值， 设置 \\(n=0\\)

3. 输入一组样本 \\(X(n)=\\left(1, x_1(n), x_2(n), \\cdots, x_m(n)\\right)\\) 并给出它的期望输出 \\(d(n)\\)

4. 计算实际输出 \\(y(n)=f\\left(\\sum_i=0^m \\omega_i(n) x_i(n)\\right)\\)

5. 求出期望输出和实际输出的误差，\\(e=d(n)-y(n)\\)，根据误差判断目前输出是是否满足条件，若满足条件则算法结束，否则将n值加1，并用下式调整权值
   \\[ \\omega(n+1)=\\omega(n)+\\eta[d(n)-y(n)] X(n) \\]

在单层感知器学习算法中，最关键的因素是引入了一个量化的期望输出，这样就可以采用误差校正学习规则对权值向量逐步进行修正，最终达到问题所需的精度。

对于线性可分的两类模式，可以证明单层感知器的学习算法是收敛的，即通过调整神经网络各个链接权值可以得到合适的判别边界，正确区分两类模式；而对于线性不可分的两类模式，无法用一条直线区分两类模式，此时，单层感知器的学习算法不是收敛的，即单层感知器无法正确区分线性不可分的两类模式。