04 序列的运算

Posted 2021-12-14 lastknight

序列的运算

基本运算

调制

两个序列样本值的乘积，指的是将两个序列的样本值逐点对应相乘，从而得到新的序列：
\[ y[n]=x[n]w[n] \]
在一些应用中，序列的乘积也叫做调制，实现该运算的器件称为调制器。

相乘

一个序列的每个样本值都乘以标量A以产生新的序列
\[ y[n]=Ax[n] \]
实现相乘运算的器件称为乘法器。

相加

把两个序列的样本值逐点的相加得到新的序列
\[ y[n]=x[n]+w[n] \]
实现该运算的器件称为加法器。

时移

时移运算表现为
\[ y[n]=x[n-N] \]
若\(N>0\)，则称之为延迟运算，若\(N<0\)则称之为超前运算。

单位延迟为延迟一个单位，即
\[ y[n]=x[n-1] \]
在\(Z\)变换中，延迟一个单位相当于乘以\(z^-1\)，所以在方框图用\(z^-1\)表示延迟一个单位

同理，单位超前一个单位可以写为
\[ y[n]=x[n+1] \]
在\(Z\)变换中，超前一个单位相当于乘以\(z\)，所以在方框图用\(z\)表示超前一个单位

反褶

序列的反褶表现为
\[ y[n]=x[-n] \]

下面给出一些序列运算的例子，我将以图形的形式给出

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调制

相加

单位延迟

单位超前

反褶

大多数的应用都是采用上述基本运算的组合。

卷积

\(x[n]\)和\(h[n]\)为两个序列，这两个序列通过卷积后产生新的序列是
\[ y[n]=\sum_m=-\infty^\inftyx[m]h[n-m] \]
至于为什么会有卷积和这种运算，在离散时间系统那里详细介绍过，卷积和可以说是信号与系统分析中最重要的运算之一。

观察卷积的表达式，发现卷积也是由基本运算组成的：首先对\(h[m]?\)进行反褶得到\(h[-m]?\)，然后进行时移运算，由\(h[-m]?\)得到\(h[-(m-n)]=h[n-m]?\)，然后进行调制运算\(x[m]h[n-m]?\)，最后进行相加运算得到\(y[n]=\sum_m=-\infty^\inftyx[m]h[n-m]?\)，所以一个卷积运算是由反褶，时移，调制，相加等基本运算组成的。

其实在实际的计算，计算过程就是由我上面所说的过程组成，从这里就可以看到，其实做卷积运算是比较麻烦的，在学习变换域时，有更好的办法进行卷积运算。

卷积和一般也写成
\[ y[n]=x[n]*y[n]=\sum_m=-\infty^\inftyx[m]h[n-m] \]
我们对上面的式子做一个变换，令\(m=n-k\)，则：
\[ y[n]=\sum_k=-\infty^\inftyh[k]x[n-k]=h[n]*x[n] \]
所以卷积满足交换律。

不做卷积得到某一项的值

如何快速展开得到卷积某一项的值，比如想得到\(y[2]\)的值。

假设\(x[n],w[n]\)的起点都是\(0\)，那么可以快速写出\[y[2]=x[0]w[2]+x[1]w[1]+x[2]w[0]\]

观察表达式可以得到\(x?\)的下标和\(w?\)的下标加起来等于\(2?\)，所以想快速得到卷积后某一项的值可以快速的写出来，只要\(x?\)的下标加上\(w?\)的下标等于\(n?\)。

那么\(y[3]\)可以写为

\[ y[3]=x[0]w[3]+x[1]w[2]+x[2]w[1]+x[3]w[0] \]
这里假设\(x\)和\(w\)都是从\(0\)开始的,并且\(x\)和\(w\)都能取到\(x[3]\)和\(w[3]\)。

当然对于不是从\(0\)开始的也成立，假设\(x\)是从\(-1\)开始的，\(w\)是从\(0\)开始的，那么

\[ y[2]=x[-1]w[3]+x[0]w[2]+x[1]w[1]+x[2]w[0] \]
上述表达式成立前提是\(x?\)有\(x[2]?\)和\(w?\)有\(w[3]?\)。

有限长序列卷积

卷积后的长度

假设序列\(x[n]\)的有值区间为\(N_1\leq n \leq N_2\)，长度为\(N=N_2-N_1+1\)，\(w[n]\)的有值区间为\(N_3 \leq n \leq N_4\)，长度为\(W=N_4-N_3+1\)，\(y[n]=x[n]*w[n]\)，那么\(y[n]\)的长度是多少，有值区间又是多少？

从卷积的表示式得到
\[ y[n]=\sum_m=-\infty^\infty x[m]w[n-m] \]
所以
\[ N_1 \leq m \leq N_2 \N_3 \leq n-m \leq N_4 \]
得到
\[ N_1+N_3 \leq n \leq N_2+N_4 \]
所以\(y[n]\)的长度为
\[ \beginaligned &N_2+N_4-(N_1+N_3)+1\&=(N_2-N_1+1)+(N_4-N_3+1)-1 \\ &=N+ M -1 \endaligned \]
有值区间为
\[ N_1+N_3 \leq n \leq N_2+N_4 \]

所以得到的结论是，两有限长序列的卷积，卷积后序列长度为两序列长度相加再减一，卷积序列有值区间的起点为两序列的起点相加，终点为两序列的终点相加。

在这里给出一个卷积和计算的例子(用计算机实现的)

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卷积和\(y[n]=x[n]*w[n]\)

观察到卷积后序列的有值区间的起点为序列起点的相加\(-2+1=-1\)，终点为两序列终点的相加\(3+4=7\)

用多项式乘法快速计算卷积

该方法在有的书上也叫作列表法，不过我觉得叫什么无所谓，能掌握怎么计算的就可以
我们就用上图中的例子为例：
\[ x[n]=\1 ,5,\mathop6\limits_\uparrow, 7, 8, 9\ \]
\[ w[n]=\2,5,9,4\ \quad w[n]从1开始 \]
我们先用定义法计算，首先我们可以得到\(y[n]\)的有值区间为\([-1,7]?\)，然后利用介绍的快速展开计算每一项的值：
\[ \beginaligned y[-1]&=x[-2]w[1]=2 \y[0]&=x[-2]w[2]+x[-1]w[1]=1*5+5*2=15 \y[1]&=x[-2]w[3]+x[-1]w[2]+x[0]w[1]=1*9+5*5+6*2=46\y[2]&=x[-2]w[4]+x[-1]w[3]+x[0]w[2]+x[1]w[1]=1*4+5*9+6*5+7*2=93\y[3]&=x[-1]w[4]+x[0]w[3]+x[1]w[2]+x[2]w[1]=5*4+6*9+7*5+8*2=125\y[4]&=x[0]w[4]+x[1]w[3]+x[2]w[2]+x[3]w[1]=6*4+7*9+8*5+9*2=145\y[5]&=x[1]w[4]+x[2]w[2]+x[3]w[1]=7*4+8*9+9*5=145\y[6]&=x[2]w[4]+x[3]w[3]=8*4+9*9=113\y[7]&=x[3]w[4]=9*4=36 \endaligned \]

得到的结果应该与上图中的\(y[n]\)是相同的，但是说实话，做完这一遍我再也不想做第二遍，在这里介绍第二种快速计算的方法，这种方法手算比前面的快很多倍，只要会乘法就可以。

还是以以上的\(x[n]\)和\(w[n]\)为例，将\(x[n]\)和\(w[n]\)列出来，如下所示

按照多项式乘法的规则即可，不过与多项式乘法不同的是，不用逢十进位，通过这个方法得到的序列是
\[ y[n]=\2,15,46,93,125,145,145,113,36\ \]

与上面用定义计算得到的结果是一样的，但是我这里没有标出\(0\)的位置，如何快速得出\(y[0]\)的位置呢(虽然我们知道\(y[n]\)的起始位置是\(-1\)，可以推出\(0\)的位置)，那就是用小数乘法，将0位置后面标出小数点，比如序列\(x[n]\)在\(x[0]=6\)的后面标一个小数点，w可以在前面补0，所以可以写成

所以\(15\)就是\(y[0]\)的位置。

至于多项式乘法为什么可以计算卷积，感兴趣的可以自己去查阅资料，毕竟这不是重点，重点是大家掌握这种方法就可以。

其实卷积还有很多有意思的性质，大家可以在习题中多多体会，这里贴出我写的配套习题。这个习题是我参考教材

数字信号处理----基于计算机的方法

离散时间信号与系统题目

抽样率转换

从一个序列生成抽样率高于或低于它的序列叫做抽样率转换。

假设\(x[n]\)是以频率\(F_THz\)抽样得到的序列，由\(x[n]\)得到的\(y[n]\)的序列抽样频率为\(F^'_THz\)，定义抽样率转换比
\[ \fracF^'_TF_T=R \]
如果\(R>1\)，也就是说\(F^'_T > F_T\)，得到的抽样频率变大了，由\(x[n]\)得到抽样频率更大的\(y[n]\)的运算叫做内插，实现该运算的叫做内插器。反之如果得到的抽样频率更小，那么该运算叫做抽取，相应实现该运算的叫做抽取器。

那么为什么叫做内插和抽取呢？到底内插和抽取是怎么样的一个过程。

假设序列\(x[n]\)是以频率\(F_T\)对信号进行抽样，而另一个信号\(y[n]\)的抽样频率\(F^'_T\)是\(x[n]\)的两倍，那么这就意味着\(y[n]\)的样本值的个数是\(x[n]\)的两倍，所以从\(x[n]\)得到\(y[n]\)就得"插入"多余的那些样本值，一般插入的都是0。假设\(F_T^'=2F_T\)，那么\(x[n]\)就得每隔一点插入一个0。

我以一个例子来说明内插是一个什么样的过程，假设\(F_T^'=2F_T\)

一般的如果\(F^'_T=LF_T,L>1\)，那么\(y[n]\)与\(x[n]\)之间的关系为
\[ y[n]= \begincases x[n/L],\quad &n=0,\pm L, \pm 2L, ...\0,\quad&其他 \endcases \]

相反，如果得到序列的抽样频率更低的话，也就是说\(x[n]\)的样本值个数更多，就得减少\(x[n]\)的个数，具体的做法就是抽取，如果\(F_T=2F^'_T\)的话，那么就每隔一个抽取一个样本值。

同样以一个例子演示抽取的过程：

一般的如果\(F_T=MF_T^',M>1\)，那么\(y[n]\)与\(x[n]\)之间的关系为
\[ y[n]=x[nM] \]