算法演练2：山脉数组的峰顶

Posted 2021-12-12 freeself

这个leetcode题目是这样的：

这个数组的特点是会形成一个山峰，而题目要求返回这个山峰的索引。

一般的解法

如果按题意来想，很快就想到一个解决办法：把a[i]跟a[i+1]作比较，如果a[i+1]比a[i]小了，那就是到山峰了，返回i即可。这个算法需要遍历数组，一直找到开始变小的情况。

对于这个算法，可以这样实现（因为山峰一定不会在最后出现，所以不必担心A[i+1]会越界）：

int peakIndexInMountainArray(int* A, int ASize) {
    int i;
    for (i = 0; i < ASize; i ++) {
        if (A[i] > A[i+1]) {
            break;
        }
    }   
    return i;
}

把这个实现提交到leetcode，反馈是这样的：

从反馈来看，这并不是一个速度很快的算法设计，但这不代表它不可行，实际上，很多情况，我们宁愿简单一点的实现也不要复杂但性能很佳的设计，因为有时简单就是最重要的。但是，这里的训练就是要追求更好的设计，而不是考虑实际情况。

经过设计的解法

小程之前已经提过：一般自然的想法，都不是高效的算法设计。

所以，除了理解题意外，还需要有独立的时间来进行算法设计（而不是简单地按着题意来解答），这对于其它场景也是一样，使用什么套路，有时候是很关键的。

另外，高效是相对的，检测是不是高效有两个办法，一个办法是运行起来看执行速度，一般需要对比其它解决办法，另一个办法是分析时间复杂度，这两个都不是小程重点讲解的内容，读者不应该陷入时间复杂度的分析当中，而应该把时间放在经典的算法套路的理解上。

对于这个题目，如果换一个角度，那实际就是求最大值的索引，依然可以套用小程之前反复提到的“分治”与“重用”的套路。

假如一开始就决定使用分治与重用的套路，那思考的过程可能是这样的：

1. 这里的分治，只需要简单的分，从中间一分为二即可。
2. 然后就是重用，也就是标准作业，就是自己，即返回最大值的索引。

整体的思路是这样的：把数列分为两部分，然后重用自己，求得两部分的最大值的索引，然后对这两个索引对应的值再比较一次，最终返回整体的最大值的索引。

分到什么时候结束呢？分到只有一个元素时结束，或者，在程序实现时再考虑都可以。在算法设计上，可以不考虑细节。

这个算法的实现是这样的：

int maxindex(int* A, int b, int e) {
    if (b < e) {
        int m = (b+e)>>1;
        int l = maxindex(A, b, m);
        int r = maxindex(A, m+1, e);
        int ret = l;
        if (A[l] < A[r]) {
            ret = r;
        }
        return ret;
    }
    return b;
}

int peakIndexInMountainArray(int* A, int ASize) {
    return maxindex(A, 0, ASize-1);
}

把这个代码提交到leetcode，反馈如下（可见速度大幅提升了）：

以上是同时使用“分治”与“重用”，而且“重用”的标准作业是自身，所设计出来的算法。

实际上，还有其它套路可以优雅地解决这个问题，比如“排除”的套路，不断地排除掉不符合答案的区域，最终定位到答案。对于这个“排除”套路，可以用折半查找的办法来实现。

对于“排除”套路，小程另作介绍，这里只给出对应的代码实现并结束本文的主要内容：

public class Solution {
    public int PeakIndexInMountainArray(int[] A) {
        int ret = 0;
        int l = 0, r = A.Length - 1;
        while (l < r) {
            int m = (l+r) >> 1;
            if (A[m] < A[m + 1]) l = m;
            else if (A[m-1] > A[m]) r = m;
            else {
                ret = m;
                break;
            }
        }
        return ret;
    }
}

简单来说。分治，就是大事化小，难点在于，怎么分，跟分到什么程度为止。重用，就是反复使用标准作业，可能要先假设有某种能力，再使用它，并真的达到某种能力，需要有空手套白狼的勇气。你自己领悟一下。

总结一下，本文再次介绍“分治”与“重用”套路的使用，分治能使问题规模变小并最终得到解决，重用能简化思考的复杂度并让思路简洁，这两个套路经常出现在算法设计当中。

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