从头开始的点分治

Posted 2021-12-10 nosta

今天发现之前有篇随笔忘发布了……

TREE

【题意】给你一棵树,以及这棵树上边的距离.问有多少对点它们两者间的距离小于等于K。

【分析】考虑树根rt，可以处理出rt到其子树中的节点的距离，设为dis[]。利用dis数组的值，我们可以轻易地得到所有“端点在rt的子树中，长度≤k的，且经过rt的路径”数量（具体做法是将dis的值排序，然后双指针扫描）。要去除其中的非简单路径数量，只需要对rt的每个“儿子的子树”做一遍类似的过程（区别在于儿子的子树中的路径长度需要≤k-len[rt,儿子]），减去新得到的数量。将这一过程称为s()。

再考虑计算“不经过rt的路径”数量，显然此时两个端点必处于rt的某个儿子的子树中，因此我们递归处理“儿子的子树”即可。这一过程恰属“分治”范畴。

稍微动脑就知道这种做法很不科学。（举个例子：链式图）为了得出更稳得算法，我们先需要明确“所有递归深度相同的s()过程的总时间复杂度不超过O(n+nlogn)”。因此一个有效的优化方向是减少递归的层数。我们在一棵树中选出一个节点使得以之为根时，各子树大小尽量均匀（最大的子树的小尽量小，即该节点为树的重心），就能很好地达到这一目的。可以发现，这样做的递归层数是对数级别的。

【实现】

int rt,sum,fiz[N],siz[N];
int dis[N],tmp[N],top;
bool ban[N];
long long ans;

void addEdge(int x,int y,int w) {
    static int cnt=0;
    to[++cnt]=y;
    len[cnt]=w;
    last[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void getRoot(int x,int pa) {
    siz[x]=1;
    fiz[x]=0;
    for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
        if(to[i]==pa||ban[to[i]]) continue;
        getRoot(to[i],x);
        siz[x]+=siz[to[i]];
        fiz[x]=max(fiz[x],siz[to[i]]);
    }
    fiz[x]=max(fiz[x],sum-siz[x]);
    if(fiz[x]<fiz[rt]) rt=x; 
}
void getDis(int x,int pa) {
    tmp[++top]=dis[x];
    for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
        if(to[i]==pa||ban[to[i]]) continue;
        dis[to[i]]=dis[x]+len[i];
        getDis(to[i],x);
    } 
}
int calc(int x,int preLen) {
    top=0;
    dis[x]=preLen;
    getDis(x,0);
    sort(tmp+1,tmp+top+1);
    int ret=0,l=1,r=top;
    while(l<r) {
        if(tmp[l]+tmp[r]<=k) ret+=r-l, l++;
        else r--;
    }
    return ret;
}
void solveAt(int x) {
    ban[x]=true; // 把以后的过程中不会再涉及到的点ban掉。
    ans+=calc(x,0);
    for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
        if(ban[to[i]]) continue;
        ans-=calc(to[i],len[i]);
        rt=0;
        sum=siz[to[i]];
        getRoot(to[i],0);
        solveAt(rt);
    }
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int x,y,w,i=n; --i; ) {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        addEdge(x,y,w);
        addEdge(y,x,w);
    }
    scanf("%d",&k);
    sum=n;
    fiz[0]=0x3f3f3f3f;
    getRoot(1,0);
    solveAt(rt); 
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
} 

[IOI2011] Race

【题意】给一棵树，每条边有权。求一条简单路径，权值和等于 k（一组询问），且边的数量最小。
【分析】tmp再记录个所用边的数量。每次calc维护bin[i]表示i条边、权值和为k的路径条数。最后输出最小的i使得bin[i]>0即可。
【实现】

bool youBiYaoTieMa=false; 

模板-点分治1

【题意】多次询问，判断是否存在路径长度为k的点对。
【分析】第一题的变形，因为是判断可行性，就不需要容斥了，代码也很好写。
【实现】

// ques[i]是第i个询问的内容。
// ans[i]是第i个询问的答案。
void calc(int x) {
    int num=0;
    for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
        if(ban[to[i]]) continue;
        tot=0;
        dis[to[i]]=len[i];
        getDist(to[i], x);
        for(int j=tot; j; --j) for(int k=1; k<=m; ++k)
            if(ques[k]>=tmp[j]) ans[k]|=mem[ques[k]-tmp[j]];
        for(int j=tot; j; --j)
            all[++num]=tmp[j], mem[tmp[j]]=1;   
    }
    for(int i=num; i; --i) mem[all[i]]=0;
}
void solveAt(int x) {
    ban[x]=1;
    mem[0]=1;
    calc(x);
    for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
        if(ban[to[i]]) continue;
        sum=size[to[i]];
        mxn[rt=0]=2e9;
        getRoot(to[i], 0);
        solveAr(rt);
    }
}

聪聪可可

【题意】给你一棵树，求边权和为3的倍数的路径数目与总路径数目的最简分数表达，路径的端点可以重合。
【实现】

bool youBiYaoTieMa=false;

快递员

【题意】不好概括自个儿读吧。
【分析】任然是点分治。考虑在树上选个点rt作为根，并且快递中心就选这儿。计算出所有配送的代价（2*两段之和），设他们的最大值为Max。若此时存在下列情况时，可以判定Max已经为最优解。

1）存在代价为Max的配送(u,v)且uv分别属于rt的不同的两个“儿子的子树”。
2）存在代价为Max的配送(u1,v1)(u2,v2)且u1u2分别属于rt的不同的两个“儿子的子树”。
3）存在代价为Max的配送(u1,v1)(u2,v2)且v1v2分别属于rt的不同的两个“儿子的子树”。

但是若1）不存在，2）、3）不就是一种情况了吗，滑稽。 概括一下就是当所欲代价为Max的配送的端点所属于的“儿子的子树”不唯一，则已达到最优解，证明就上边那三种情况。

如果都不满足的话，那么更优的选点应在Max的配送(u,v)的u（=v）所属于的那个“儿子的子树”里。分治下去就好。

【实现】传送门

[BJOI2017]树的难题

【题意】不好概括自个儿读吧。
【分析】按照常规思路，选一个点x作为分治中心，拼接x出发到子树各点的路径。对于拼接时两段接口处（即x连出的那条边，若没有，设为0号边：颜色为0，长度为0，到达0号儿子）颜色的影响，可以记录每段的路径权值、边数以及该段的接口，将所有的路径以接口颜色为第一关键字，接口编号为第二关键字排序。显然，对于同一接口的路径必为连续的一段序列。这样枚举每个路径，找到之前出现的符合边数和的要求的最大的路径权值即可。用两颗线段树维护，一棵维护与本路径不同颜色的，一颗维护与本路径颜色相同但接口不同的（因为简单路径的拼接要满足两个端点不在同一个子树内）。
【实现】传送门