线性代数基础

Posted 2021-12-07 weizz

向量

一个向量是一列数。这些数是有序排列的。通过次序中的做因，我们可以确定每个单独的数。

若固定向量的起点，如记之为原点，则向量由其终点唯一确定于是我们可以等同：

　　1.n维空间中的点；

　　2.n元有序数组；

　　3.n维空间中由原点出发的向量；

记向量:

                  

线性空间

组成元素的n维向量，且对加减和标量乘法封闭。

矩阵范数

矩阵范数用来衡量矩阵的大小

特征分解

存在矩阵A，其中A为n×n方阵，则有：

　　Ax = λx

其中λ为特征值，x为λ对应的特征向量。

奇异值分解SVD

奇异值分解是将矩阵分解为奇异向量(singular vector)和奇异值(singular value)，通过分解有更广泛的应用。每个实数矩阵都有一个奇异值分解，但不一定有特征分解。

假设A为实数矩阵，则有;

　　A  = UDV

若A为一个m×n的矩阵，那么U是一个m×m的矩阵，D是一个n×n的矩阵。

可以把奇异值分解看成线性变换的分解，即将变换分解为  旋转->缩放->旋转

Moore-Penrose 伪逆

对m×n的矩阵A，定义其伪逆(pseudoinverse),使得当A为n阶可逆方阵时，有。

∈