线性基的小证明...

Posted 2021-12-03 judge

这个... 看到一个大佬的证明，没看懂，就自己证了一下...

定律

对于一个集合 S （可重），设它任意个元素（至少一个）异或后能取到的值的集合为 T ，那么 T 中所有元素从 S 中异或得到概率是相等的

证明

我们先将原集合 S 中搞个线性基，那么此时线性基就相当于一个集合 H ，里面包含一些 S 中的元素，那么线性基中就有 |H| 个元素，按照定义， H 可以表示出 \(2^{|H|}-1\) 种权值（减去的一是线性基中默认的 0 ，可以理解为空集）。

然后我们在 S 中取出 H 的补集 G ，那么这个补集可以异或出 \(2^{|G|}\) 个值（可重）

现在我们分两步走：

第一步

我们发现所有的 G 集合能异或得到的值 x 都能在线性基 H 中找到唯一确定的子集（包括空集）使其异或和与 x 相等

然后我们据此可以得到 \(2^{|G|\) 个 S 的子集，使得其中所有子集异或和为 0

第二步

首先我们拿出一个集合 A ，使得 A 的异或和为 x 且不能拆出任意一个异或和为 0 的子集

然后我们在上面得到的 \(2^{|G|}\) 个异或和为 0 的集合中选出任意个集合（方案数为 \(2^{2^{|G|}}\) ）

最后我们把这些集合并起来，这里的合并指的是出现偶数次的元素丢掉，奇数次的保留，最后我们可以得到一个异或和为 x 的集合

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上面的做法看上去貌似是会算重的，但事实上我们发现每种值被算重的次数都是相等的，这样所有取值的选择集合方案数减去算重次数还是相等的

证明总结： 玄学，背结论就好，不然感性理解...