[Usaco2006 Nov]Corn Fields牧场的安排

Posted 2021-12-02 akura

题目描述

Farmer John新买了一块长方形的牧场，这块牧场被划分成M列N行(1<=M<=12; 1<=N<=12)，每一格都是一块正方形的土地。FJ打算在牧场上的某几格土地里种上美味的草，供他的奶牛们享用。遗憾的是，有些土地相当的贫瘠，不能用来放牧。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是FJ不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。当然，FJ还没有决定在哪些土地上种草。 作为一个好奇的农场主，FJ想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择。当然，把新的牧场荒废，不在任何土地上种草，也算一种方案。请你帮FJ算一下这个总方案数。

输入格式

第1行: 两个正整数M和N，用空格隔开

第2..M+1行: 每行包含N个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。输入的第i+1行描述了第i行的土地。所有整数均为0或1，是1的话，表示这块土地足够肥沃，0则表示这块地上不适合种草

输出格式

第1行: 输出一个整数，即牧场分配总方案数除以100,000,000的余数

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虽然是暴搜的数据量，但暴搜的复杂度为O(2^(12^2))......考虑优化，如果我们先填前排，再填后排，然后再填满前排可以等价于先填完再填后排。所以我们可以一排一排地搜，时间复杂度降到了O(12 * 2^12)。可以通过本题。

刚才口胡的。考虑一下标签上的算法(状压动规)？我们显然可以把某一排上种与不种的方案用二进制数来表示。设dp(i,j)表示第i排的种植情况为j的二进制数时的方案数，考虑可以转移过来的合法状态。

首先判断竖着没有连着的草坪。这是我们可以把上一排和当前这一排取交集，如果交集为空那么竖着没有连着的草坪。

再判断左右没有连着的草坪。先判断左边，如果我们把当前这一行右移一位，再与原来的状态取并集就可以判断了。右边类似。

最后判断有没有种到贫瘠的地方去。我们可以把当前行的贫瘠的地方也表示为二进制数，跟当前的种植情况的二进制数取交，如果交集为空就说明没有。

时间复杂度为O(N * 4^M)，可以通过本题。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 13
#define p 100000000
using namespace std;
 
int dp[maxn][1<<maxn],g[maxn];
int n,m;
 
inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
 
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        for(register int j=0;j<m;j++) g[i]=(g[i]<<1)+read();
    }
    dp[0][0]=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        for(register int j=0;j<1<<m;j++) if((j&g[i])==j&&!((j&j<<1)||(j&j>>1))){
            for(register int k=0;k<1<<m;k++){
                if(!(k&j)) (dp[i][j]+=dp[i-1][k])%=p;
            }
        }
    }
 
    int ans=0;
    for(register int i=0;i<(1<<m)-1;i++) (ans+=dp[n][i])%=p;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

然而你足够细心的话可以发现优化的地方：

我们其实对于每个j存不存在左右相邻的草坪都判断了N次。所以我们可以预处理出没有相邻草坪的二进制数，是一个不错的常数优化。