偏序集中的特殊元素

Posted 2021-12-02 zhangyishu

偏序是有顺序特点的关系。

 

偏序集中的特殊元素有极大元、极小元、最大元、最小元，以及上界、下界、上确界和下确界八种。

 

定义如下:

 

设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈B

1. 若∀x(x∈B → y≤x)，则y为B的最小元
2. 若∀x(x∈B → x≤y)，则y为B的最大元
3. 若∀x（x∈B ∧ x≤y → y=x），则y为B的极小元
4. 若∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x），则y为B的极大元

 

设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈A

1. 若∀x（x∈B → x≤y），则y为B的上界
2. 若∀x（x∈B → y≤x），则y为B的下界
3. 令C={y|y是B的上界}，则C中最小元就是B上确界
4. 令C={y|y是B的上界}，则C中最小元就是B上确界

 

 

［理解］

 

• 最大元:∀x(x∈B → x≤y)

 

由定义知道，x必须是B中的任何的一个元素，也同时y必须和x有关系，也就是说y必须和B内的任何一个元素有关系，如果都有x≤y，那么说明y是在排在最后的。

 

上面的题目第一个B中，关键是（2和3）还有（24和36）之间没有关系，而12，6又不是最大元最小元，所以没有最大元和最小元。

 

注意！哈斯图中没有相连的两个元素不一定就没有关系！

 

根据哈斯图的定义，只有覆盖的才相连。

所以上面那一幅图中，2和6，12，24，36是有关系的，3也和他们（除了2）有关系，因为2≤6，6≤12，12≤24，12≤36，根据偏序的传递性，2和6，12，24，36都有关系，而且都在他们前面，同理3也是和他们有关，同理6除了和2，3，12有关，也和24，36有关。也就是说除了2和3以及24和36两组没有任何关系，其他都有关。

 

必须和任何元素有关系，才能突出“最”。

 

 

• 同理，最小元也是。

 

 

• 极大元: ∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x）

 

由定义知道，x∈B ∧ y≤x这是极大元的两个条件，也就是说x必须属于B，而且y和x必须有关系（这里说明了并不需要和任何元素都有关系，和特定元素有关系即可，因为如果没有关系，那么就是前假后必真，也属于极大元），如果y≤x，那么就是极大元，为什么？

 

因为如果y≤x，则y=x的话，说明如果y≠x的时候，y不可能小于x，只能大于x，故为极大元。也就是说，如果y是极大元，那么和y有关的x，x必须小于他。

 

比如上面题目第一个B中，有

2≤6，3≤6，6≤12，12≤24，12≤36，那么2和6有关系，3也和6有关系，而且都是小于6，.若x∈B ∧ y≤x 中，y≤x条件不成立，所以为真。但是和6有关的还有12，6≤12，而又有12≤24，12≤36，再往上就没有了，没有再比24，36大的了，所以24，36为极大元

 

• 同理，极大元也是

 

• 上界 若∀x（x∈B → x≤y），则y为B的上界
• 下界 若∀x（x∈B → y≤x），则y为B的下界

 

最大元和上界的最大区别就是：

最大元中是偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈B

上界中是偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈A

也就是说，最大元是在B中选择然后再在B中看是否排在最后，而上界是在A中选择看是否在B中排在最后。而且两个都需要所选的元素和B集合中的元素都有关系。

上界和最大元的定义一样，就是y属于的集合不一样而已。

 

题目中，A={2，3，6，12，24，36}，B = {2，3，6，12，24，36}，从A中选择一个元素，看是否和B中的任何一个元素相比，都排在最后。

选择2，因为2和3没有关系，所以并不满足和B中任何元素都有关系，同理选择3也是。选择6，6和B中全部元素都有关系，但是不满足都有X≤Y，因为有2<6,3<6,6<12等等。而选择12的话，12也和全部元素有关系，但是也不满足X≤Y，因为有2<12,3<12,6<12,12<24等等。而选择24的话，24和36没有关系，所以不满足。所以没有上界，自然也就没有上确界。

A ={2，3，6，12，24，36}，B = {6，12}，从A中选择一个元素。

选择２，２和　B中元素６、１２都有关系，且都是２≤６，２≤５，满足下界条件ｙ≤ｘ。选择３也同理。选择６，６和６、１２也有关系，有６≤６，但是也有６≤１２，满足下界，大师不满足下界的Ｘ≤Ｙ，所以６不是上界而是下界，选择其他的同理。

 

• 上确界：令C={y|y是B的上界}，则C中最小元就是B上确界
• 下确界：令C={y|y是B的上界}，则C中最小元就是B上确界

 

上确界和下确界关键是在上界集合和下界集合中选择最小元和最大元。

比如题目中的第二行，A ={2，3，6，12，24，36}，B = {6，12}，上界＝｛１２，２４，３６｝，下界＝｛２，３，６｝，在上界中选择最小元，根据最小元定义即所选必须和集合任何一个元素有关系且排在最前，１２和２４，３６有关系并且都有１２≤２４、３６，所以１２是上确界。在下界中选择最大元，根据最大元定义，６符合。