loj3120CTS2019珍珠
Posted paul-guderian
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题目
? $laofu $出的题
? \(n\)个离散型随机变量\(X_i\)可能的值为\([1,D]\) ,求有至少\(m\)对的概率
? $0 \le m \le 10^9 ?, ?1 \le n \le 10^9 ?, ?1 \le D \le 10^5 $
题解
60 pts
观察到能配对的个数只和颜色奇数个数有关
令\(L=min(D,n-2m)\),这是奇数个数上界
\(dp_i,j\)表示前\(i\)个球,奇数个数为\(j\)的方案
复杂度:\(O(Dn)\)
如果用快速幂转移加上一些奇技淫巧可以通过13-15
100pts
$ f_i $ 表示硬点$ i $ 个颜色是奇数的方案和
\[ \begin{align} f_i &= (^D_i)n![x^n](\frac{e^x-e^{-x}}{2} )^i e^{(D-i)x}\&= \frac{i!(^D_i)}{2^i} \sum_{j=0}^{i} \frac{(-1)^j(D-2j)^n}{j!(i-j)!} \end{align} \]
直接把\(f_i\)卷出来,考虑二项式反演
\[ \begin{align} g_i &= \sum_{j \ge i}(-1)^{j-i}(^j_i) f_j \即\ i!g_i &= \sum_{j \ge i}\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}\times j!f_j\把 G和F都 & \ reverse \ 一下就可以卷积了 \end{align} \]#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define mod 998244353 using namespace std; const int N=400010; int D,n,m,G=3,fac[N],inv[N],ny[N],len,L,rev[N],a[N],b[N],c[N],f[N]; void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;} int pw(int x,int y){ if(y<0)y+=mod-1; int re=1; while(y){ if(y&1)re=(ll)re*x%mod; y>>=1;x=(ll)x*x%mod; } return re; } void ntt(int*A,int F){ for(int i=0;i<len;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]); for(int i=1;i<len;i<<=1){ int wn=pw(G,F*(mod-1)/i/2); for(int j=0;j<len;j+=(i<<1)){ int w=1; for(int k=0;k<i;++k,w=(ll)w*wn%mod){ int x=A[j+k],y=(ll)w*A[j+k+i]%mod; A[j+k]=(x+y)%mod;A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod; } } } if(!~F)for(int i=0;i<len;++i)A[i]=(ll)ny[len]*A[i]%mod; } void Mul(int*A,int*B,int*C){ ntt(A,1);ntt(B,1); for(int i=0;i<len;++i)C[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod; ntt(C,-1); } int main(){ // freopen("pearl.in","r",stdin); // freopen("pearl.out","w",stdout); scanf("%d%d%d",&D,&n,&m); for(L=0,len=1;len<=D<<1;++L,len<<=1); ny[1]=1;for(int i=2;i<=len;++i)ny[i]=(ll)(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod; for(int i=fac[0]=inv[0]=1;i<=len;++i){ fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod; inv[i]=(ll)inv[i-1]*ny[i]%mod; rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)); } for(int i=0;i<=D;++i){ f[i]=(ll)fac[D]*inv[D-i]%mod*pw(2,-i)%mod; b[i]=(ll)inv[i]*pw((D-2*i+mod)%mod,n)%mod; a[i]=inv[i];if(i&1)b[i]=(mod-b[i])%mod; } Mul(a,b,c); for(int i=0;i<=D;++i)f[i]=(ll)f[i]*c[i]%mod; for(int i=0;i<len;++i)a[i]=b[i]=c[i]=0; for(int i=0;i<=D;++i){ a[i]=i&1?mod-inv[i]:inv[i]; b[i]=(ll)fac[D-i]*f[D-i]%mod; } Mul(a,b,c); int ans=0,mn=min(D,n-2*m); for(int i=0;i<=mn;++i)inc(ans,(ll)inv[i]*c[D-i]%mod); cout<<ans<<endl; return 0; }
官解
感觉挺好玩
谁说生成函数只能有一个未知数的???
我们重新设计一下不用二项式反演的生成函数
\[ \begin{align} ans &= \sum_{i=0}^{L}n!(\frac{e^x+e^{-x}}{2}+y\frac{e^x-e^{-x}}{2})^D[x^ny^i]\&= \frac{n!}{2^D} \sum_{i=0}^{L}(e^x(1+y)+e^{-x}(1-y))^D[x^ny^i]\&= \frac{n!}{2^D} \sum_{i=0}^{L}\sum_{j=0}^{D}(^D_j)e^{(2j-D)x}(1+y)^j(1-y)^{D-j}[x^ny^i]\&= \frac{n!}{2^D} \sum_{j=0}^{D}(^D_j)e^{(2j-D)x}[x^n] \sum_{i=0}^{L}(1+y)^j(1-y)^{D-j}[x^ny^i]\\end{align} \]考虑求后面\(y\)那坨,就是某个式子的前\(L\)项和,我们知道:
\[ (1+y)^i(1-y)^{D-i} = -(1+y)^{i-1}(1-y)^{D-i+1}+2(1+y)^{i-1}(1-y)^{D-i}\即F(D,i) = -F(D,i-1) + 2F(D-1,i-1) \]
? 只需要求出\(F(I,0)(I \le L)\)即可通过组合数卷出\(F(D,i)\)
可是由于我上课没有认真听讲,所以我忘了怎么求的\(F(I,0)\)惹.......
可能有天会突然醒悟吧....
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