UOJ450 复读机 生成函数单位根反演

Posted 2021-12-02 itst

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\(d=1\)答案显然是\(k^n\)

\(d=2\)时考虑指数型生成函数，那么答案是

\(\begin{align*}n^k &= n![x^n] (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^k \\ &= \frac{n!}{2^k}[x^n] \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i} e^{k-2i} \\ &= \frac{n!}{2^k} \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(k-2i)^n}{n!} \\ &= \frac{1}{2^k} \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i} (k-2i)^n \end{align*}\)

\(d=3\)时套用上面的式子并使用单位根反演的技巧可以得到答案为

\(\begin{align*}n^k &= n![x^n] (\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!} (\frac{1}{3}\sum\limits_{j=0}^2 w_{3}^{ij}))^k \\ &= \frac{n!}{3^k}[x^n] (\sum\limits_{j=0}^2 \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(w_3^jx)^i}{i!})^k \\ &= \frac{n!}{3^k} [x^n](e^x + e^{w_3 x} + e^{w_3^2x})^k \end{align*}\)

因为\(e^{ax} \equiv e^{(a \mod 19491001)x} \mod 19491001\)，所以对于每个\(p \in [0,19491000]\)求出\(e^{px}\)的系数就可以求答案。注意到\(k\)比较小，那么可以枚举答案式中\(w_3\)和\(w_3^2\)分别选了多少，用组合数进行贡献，复杂度\(O(k^2logn)\)。

代码