poj 2480

Posted 2021-12-02 xiongtao

题目链接：http://poj.org/problem?id=2480

 

题意：计算Σgcd(i,n） ,1<=i<=n。

 

思路：这题与51nod 1040是一样的题目。

每一项都是n的因子，我们要求的就是每个因子v的个数。
可以转换成求gcd(i/v,n/v)=1个数 (i/v是0~n/v ) n/v也是n的因数
答案就是sum（p*phi(n/p)）了(p是因子，phi（）是欧拉函数,sum是求和)。但是数据比较大，用因子乘欧拉函数会超时。

 

这里要用到积性函数的一点知识。因为gcd(i,m*n)是积性函数（gcd(i,n*m)=gcd(i,n）*gcd(i,m),证明百度。。。)

令f(n)=Σgcd(i,n）=sum（p*phi(n/p)）。

积性函数很容易想到用素因子分解，因为素因子求解是容易的，那么令n=p₁^k₁*p₂^k₂*..*p_m^k_m

 

首先就是要求到  f(p^r),  因为p^r的因子为1,p,p²,p³..p^r。

所以  f(p^r)= 1*(p^r-p^r-1) +p*(p^r-1-p^r-2)+p²*(p^r-2-p^r-3)+...+p^r-1(p-1)  +p^r*1

　　　　 =(p^r-p^r-1)+(p^r-p^r-1)+...+(p^r-p^r-1)+p^r　　

　　　　  = r*(p^r-p^r-1)+p^r= (r+1)*p^r-r*p^r-1

 

f(n)=f(p₁^k₁)*f(p₂^k₂)*...*f(p_m^k_m)

这样我们就可以根据素因子分解，对每个素因子求解再相乘即可。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
    ll n;
    while(cin>>n)
    {
        ll ans=1;
        for(ll i=2;i*i<=n;i++)//素因子分解，类似于欧拉函数 
        {
            if(n%i==0)
            {
                ll r=0,x=1;//r记录该素因子的次方,x=p^r 
                while(n%i==0)
                {
                    n/=i;
                    x*=i;
                    r++;
                }
                ans*=(r+1)*x-r*(x/i);//代入上面所求公式    
            }    
        }
        if(n>1)//类似于欧拉函数处理，多了最后一个大于根号n的素因子,一样代入公式 
            ans*=2*n-1;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}