扩展欧几里德求解ax + by = c 的 最小正整数解 （ x, y）

Posted 2021-12-01 1621325877qq

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https://blog.csdn.net/qq_38177302/article/details/78449982

第一步 ： 给出方程 ax + by = c 。
第二步 ： 算出 辗转相除法 gcd(a, b) 。
第三步 ： 运用 扩展欧几里德 ex_gcd（a, b）-》 ax + by = gcd(a,b) 的 一组解（x, y） 。
第三步： 根据 c % gcd(a, b) 判断是否 ax + by = c 有解 。
第四步 ： 根据 ax + by = c 的通解公式 x1 = (x + k * ( b / gcd(a, b) )) * (c / gcd(a, b) 令 b1 = b / gcd(a, b) , 所以 x1 的 最小正整数解 为 ： x1 = (x1 % b1 + b1) % b1, 对应的 y1 = （c - a*x1） / b.

代码如下 ：

/**
function : work out ax + by = c ->(x, y) and request that x is least positive integer.
date : 2017.11.5
author : LSC
code : c++
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
long long int x, y, d;// (x, y) ax+by = Gcd(a, b)的其中的一个解，d 是（a, b）最大公约数

LL Gcd(LL a, LL b)// 欧几里德算法（辗转相除法）求解最大公约数
{
return (b == 0)? a : Gcd(b, a%b);
}

void ex_gcd(LL a, LL b)// 扩展欧几里德 算法
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
d = a;
}
else
{
ex_gcd(b, a%b);
LL temp = x;
x = y;
y = temp - a/b*y;
}
}

int main()
{
LL a, b, c, gcd;

scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c);
gcd = Gcd(a, b);

if(c % gcd != 0)// 判断是否有解
printf("Impossible\n");
else
{
ex_gcd(a, b);
LL x1, y1, b1;
b1 = b/gcd;
x1 = (x + b1) * (c/gcd);
x1 = (x1 % b1 + b1) % b1;// 求解出 x 的 最小正整数解
y1 = (c - a*x1) / b;

printf("x = %lld , y = %lld\n", x1, y1);
}

return 0;
}

下面再来一个压缩版本的比较短。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

void extend_gcd(LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y)
{
if(!b){ d = a; x = 1; y = 0; }
else { extend_gcd(b, a%b,d, y, x); y -= x*(a/b);}
}

int main()
{
LL a, b, c, d;
LL x, y, x1, y1;

cin >> a >> b >> c;

extend_gcd(a, b, d, x, y);
if(c % d != 0)
printf("Impossible\n");
else
{
LL b1 = b / d;
x1 = (x + b1) * (c / d);
x1 = (x1 % b1 + b1) % b1;
y1 = (c - a*x1) / b;

printf("x = %lld, y = %lld\n", x1, y1);
}

return 0;
}