约瑟夫环-公式递推法

Posted 2021-12-01 tldr

约瑟夫问题

约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
C接着从1开始报数
接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
最终胜利者是C

解决方案

普通解法

刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。

缺点：

要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达\(O(nm)\)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

公式法

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。

递推公式：

\[ f(N,M)=(f(N?1,M)+M)\%N \]

\(f(N,M)\)表示，\(N\)个人报数，每报到\(M\)时杀掉那个人，最终胜利者的编号
\(f(N?1,M)\)表示，\(N-1\)个人报数，每报到\(M\)时杀掉那个人，最终胜利者的编号
下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。

第二轮被杀掉的是编号6的人。
编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。

第三轮被杀掉的是编号9的人。

……

第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
最后的胜利者是编号为7的人。
下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）

现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

\(f(1,3)\)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0

\(f(2,3)=(f(1,3)+3)\%2=3\%2=1\)：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1

\(f(3,3)=(f(2,3)+3)\%3=4\%3=1\)：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1

\(f(4,3)=(f(3,3)+3)\%4=4\%4=0\)：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0

\(……\)

\(f(11,3)=6\)

很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。

问题1：假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？

答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2：假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？

答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以\(f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3\)。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，\(f(11,3)=（f(10,3)+3）\%11\)

问题3：现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？

答：每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位\(f(N?1,M)\)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既\(f(N,M)=(f(N?1,M)+M)\%n\)

注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1

下面给出代码实现：

int f(int n,int m)
{//递归 
    if(n==1) return 0;
    return (f(n-1,m)+m)%n;
}
int cir(int n,int m)
{//递推 
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        p=(p+m)%i;
    }
    return p+1;
}