一维高斯核的傅里叶变换

Posted 2021-12-01 dream-and-truth

这篇文章是在阅读Gabor特征总结时，所遇到的关于一维高斯核函数的傅里叶变化问题，在此对其变换过程进行详细描述。

问题：
高斯核函数为\(w(t)=e^{-\pi t^2}\)，\(\hat w(f)\)为其傅里叶变换，求证：\(\hat w(f)=w(f)\)

证明：
将\(w(t)\)代入傅里叶变换式中，可得:
\[ \hat w(f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(t)e^{-j2 \pi ft} dt \tag{1} \]

对\((1)\)式进行下述变换：
\[ \begin{split} \hat w(f) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi t^2} e^{-j2 \pi ft} dt \ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\pi t^2 + j2 \pi ft)} dt \ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-((\sqrt{\pi}t + j \sqrt{\pi} f)^2 + \pi f^2)} dt\ &= e^{- \pi f^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi (t + j f)^2} dt \end{split} \tag{2} \]

对\((2)\)式中最后一行的积分进行计算：
\[ \begin{split} \int_{-\infty}^{\infty} e^{(-\pi t + j f)^2} dt &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{(-\pi t + j f)^2} d(t+jf)\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\pi y^2} dy \end{split} \tag{3} \]

对\((3)\)式中积分中的分布进行变换可得：
\[\begin{split} e^{-\pi y^2} &= e^{-\frac{1}{2} \frac{y^2}{(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}})^2}} \ &= N(0,\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}) \end{split} \tag{4} \]

由\((4)\)可以看出，该式服从\(N(0,\frac{1}{\sqrt{2 \pi}})\)的高斯分布，所以\((3)\)中的积分为\(1\)。

将该结果代入到\((2)\)式当中可得：
\[ \begin{split} \hat w(f) &= e^{- \pi f^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{(-\pi [t + j f)^2} dt\ &= e^{- \pi f^2}\ &= w(f) \end{split} \tag{5} \]

证毕