CodeForces 1152F1 Neko Rules the Catniverse (Small Version)

Posted 2021-12-01 zaq19970105

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/1152/F1

题目大意

　　有 n 个星球，给定限制 m，从 x 星球走到 y 星球的条件是，$1 \leq y \leq x + m$，且 y 不能被访问过。
　　求游玩其中 k 个星球有多少种不同的方案？

分析

　　一开始我的想法是二维 dp，dp[i][j] 表示前 i 个星球，访问其中 j 个，一共的方案种数，然后在遍历到第 i + 1 个星球的时候，很明显有访问和不访问两种操作，不访问好算，直接赋值即可，而访问就难算了，因为 dp[i + 1][j + 1] 与编号在 [i - m + 1, i] 区间内的星球访问状况是相关的，以 m == 4 为例，假设后四个星球的访问状态为 “1010”（1代表访问了，0代表没访问），那么第 i + 1 号星球，可以在第 i - 3 号星球之后被访问，也可以在第 i - 1 号星球之后被访问，也可以第一个被访问。也就是说，对于前 i 个星球，访问其中 j 个的每一种可行方案，都可以拆分成把第 i + 1 号星球插到第 i - 3 号后，把第 i + 1 号星球插到第 i - 1 号后，把第 i + 1 号星球插到第一个一共三种方案。因此 dp[i + 1][j + 1] = 3 * dp[i][j]（后4个星球的访问状态为“1010”）。

　　通过上面的分析，可以得知 dp 数组应该是三维的，第三维就是后m个星球的访问状态。此题为状压dp。

　　dp[i][j][sta] 表示前 i 个星球，访问其中 j 个，后m个星球的访问状态为 sta 时一共的方案种数。

　　当遍历到第 i + 1 号星球时，状态转移方程为：

1. 不访问：dp[i + 1][j][newsta] += dp[i][j][sta]，newsta = (sta << 1) % (1 << m)。
2. 访问：dp[i + 1][j + 1][newsta] += dp[i][j][sta] * (1 + 后m个星球被访问过的星球个数)，newsta = ((sta << 1) % (1 << m)) | 1。

　　初始状态为 dp[0][0][0] = 1，dp[0][j][sta] = 0。

　　PS：newsta 可能对应多种不同的访问星球集合，所以要用 += 而不能用 =。

代码如下

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3  
  4 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
  6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
  7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
  8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
  9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 12  
 13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 15  
 16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 17  
 18 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 19 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
 20  
 21 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 22 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 23 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
 24 
 25 #define MP make_pair
 26 #define PB push_back
 27 #define ft first
 28 #define sd second
 29  
 30 template<typename T1, typename T2>
 31 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
 32     in >> p.first >> p.second;
 33     return in;
 34 }
 35  
 36 template<typename T>
 37 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
 38     for (auto &x: v)
 39         in >> x;
 40     return in;
 41 }
 42  
 43 template<typename T1, typename T2>
 44 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
 45     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
 46     return out;
 47 }
 48 
 49 inline int gc(){
 50     static const int BUF = 1e7;
 51     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
 52     
 53     if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
 54     return *bg++;
 55 } 
 56 
 57 inline int ri(){
 58     int x = 0, f = 1, c = gc();
 59     for(; c<48||c>57; f = c==‘-‘?-1:f, c=gc());
 60     for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
 61     return x*f;
 62 }
 63  
 64 typedef long long LL;
 65 typedef unsigned long long uLL;
 66 typedef pair< double, double > PDD;
 67 typedef pair< int, int > PII;
 68 typedef pair< string, int > PSI;
 69 typedef set< int > SI;
 70 typedef vector< int > VI;
 71 typedef map< int, int > MII;
 72 typedef pair< LL, LL > PLL;
 73 typedef vector< LL > VL;
 74 typedef vector< VL > VVL;
 75 const double EPS = 1e-10;
 76 const LL inf = 0x7fffffff;
 77 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
 78 const LL mod = 1e9 + 7;
 79 const int maxN = 1e5 + 7;
 80 const LL ONE = 1;
 81 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
 82 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
 83 
 84 void add_mod(LL &a, LL b) {
 85     a = (a + b) % mod;
 86 }
 87 
 88 int n, k, m;
 89 // dp[i][j][k] 表示在前 i 个星球中，选 j 个，第 i-m-1 ~ i 的选取状态的二进制表示为 k 时的方案数  
 90 LL dp[maxN][13][16]; 
 91 LL ans;
 92 
 93 int main(){
 94     INIT(); 
 95     cin >> n >> k >> m;
 96     int maxSta = 1 << m; 
 97     dp[0][0][0] = 1; 
 98     
 99     Rep(i, n) {
100         Rep(j, k + 1) {
101             Rep(sta, maxSta) {
102                 int newsta = (sta << 1) % maxSta;
103                 // 不选 i + 1 个星球
104                 add_mod(dp[i + 1][j][newsta], dp[i][j][sta]);
105                 // 选 i + 1 个星球
106                 if (j < k) {
107                     LL insertWays = __builtin_popcount(sta) + 1;
108                     add_mod(dp[i + 1][j + 1][newsta | 1], insertWays * dp[i][j][sta]);
109                 }
110             }
111         }
112     }
113     
114     Rep(sta, maxSta) add_mod(ans, dp[n][k][sta]);
115     cout << ans << endl;
116     return 0;
117 }

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