2019山东省赛K - Happy Equation ZOJ - 4123 题解

Posted 2021-11-30 gzr2018

题意：

　　一个数论题，要求满足如下等式的x有多少个。

    

思路：

　　当时比赛是，队伍看到这个题，也没有做太多的思考，就是无从下手，几乎放弃。但是看到学校另外两支队伍都过了这个题，感觉自己还是好菜。

　　打表可以发现，当a为奇数的时候答案为1。当a为偶数的时候，x一定也是偶数，这个还是比较明显的。

　　对左边进行推导，因为a为偶数，设a=2*t，所以a^x=2^x*t^x,所以当x大于p时，这个求余之后一定为0。由于p很小，可以直接暴力求解，所以对于右边直接考虑x^a求余之后为0的x的情况。由于x为偶数。我们再次对x分解，设x=2^k*t,就是把x写成一个2的 次幂和t的乘积的形式，所以x^a=2^(ka)*t^a，所以只需要ka>=p,就可以满足条件，而且只有ka>=p可以满足条件，因为t^a不可能可以整除，所以现在要求k>=p/a，对p/a取上整即可，就是考察有多少个t，在1-up的范围内（up为x的上界），个数为up/ceil(p/a)/2^k。当然最后的答案要减去1-p范围内的数，因为这一部分是特殊考虑的。

　　

 1 #include <iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<stdio.h>
 4 //a^x 与x^a
 5 // 1<=x<=2^p
 6 using namespace std;
 7 #define ll long long
 8 ll ppow(int x,int n,ll mod)
 9 {
10     ll res=1;
11     ll base=x;
12     while(n)
13     {
14         if(n&1)
15             res=(res*base)%mod;
16         base=(base*base)%mod;
17         n>>=1;
18     }
19     return res%mod;
20 }
21 int main()
22 {
23     int a,p;
24     int T;
25     while(~scanf("%d",&T))
26     {
27         while(T--)
28         {
29             scanf("%d%d",&a,&p);
30 
31             if(a%2)
32             {
33                 cout<<1<<endl;
34                 continue;
35             }
36             //x>=p
37             ll  up=(1LL<<p);
38             ll ans=0;
39             for(int i=1;i<=p;i++){
40                 if(ppow(a,i,up)==ppow(i,a,up))ans++;
41             }
42             ll tem=ceil(p/(a+0.0));
43             ans+=(up>>tem)-(p>>tem);
44             cout<<ans<<endl;
45         }
46     }
47 
48     return 0;
49 }