扩展GCD的一点心得

Posted 2021-11-30 phkcool

ex_gcd是用于直接求解ax+by=gcd(a,b)的

首先给代码吧，

int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y)//求解Ax+By=gcd(A,B); 
{
    if(b==0)//递归至b为0时，a此时为gcd(A,B)的值，当然x=1,y=0是此时的解； 
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return d; 
}

由朴素gcd的思想，当b=0时，a就是gcd的值，那么此时x = 1,y = 0;是一组解

关于b!=0的一般情况，假设ax1+by1=gcd(a,b)（1）,a’x2+b’y2=gcd(a’,b’)（2）

都满足等式左侧第二项前的系数不为0，且（2）是（1）的下一次递归调用，就有a’=b,b’=a%b=a-a/b*b;

（2）可以带入整理得到ay2+bx2-(a/b)*by2= gcd(b,a%b)（3）

由于gcd的性质，gcd(a,b) = gcd(b,a%b),联立（1），（3），解得x1 = y2,y1 = (x1 - a/b*y2);

 

对于求解任意一组解ax+by=gcd(a,b)已经完成，在求解ax+by=c的一组解情况在下面求解ax+by=c的全部解得最前面有讲，不赘述了。

 

 

对于求解全部ax + by = c的解：

 

首先肯定就是求解ax + by = gcd(a,b)（我们求的解设为x0,y0）,观察c能否整除gcd(a,b),不能就无解，能就有解。

 

不妨来一波基操（骚操作）

 

a*x0+lcm(a,b)+b*y0-lcm(a,b)=gcd(a,b);

 

ax                   +by                 =gcd(a,b);

由于（lcm(a,b)*gcd(a,b)=a,b）

 

一般解x = x0 + b/gcd(a,b),y = y0 - a/gcd(a,b);

 

那么回到ax + by = c;

 

x = c/gcd(a,b)*x0 + b/gcd(a,b)*t;

y = c/gcd(a,b)*y0 - a/gcd(a,b)*t;(t取整数)