图论总结

Posted 2021-11-30 qixingzhi

一、最短路

最短路是满足最优子结构性质的。可以用反证法证明。

1. Dijkstra

两个集合。$S$中的点是已经确定了到源点的最短路的，$V-S$是未知的。此时，$V-S$集合中的$d$全部都是由$S$得来的，换句话说，这些d值对应的最短路统统经过S内的点。

每一步从$V-S$中选择一个$d$最小的点$i$加入$S$中，即最短路得以确定。这个最短路一定是由$S$中的点构成的，并且是$S$中所能构成的最优的，因为它是由$S$中所有与它相邻的点松弛后得来的。利用反证法：如果它还不是最优的，则存在一个点$p$使得

                     dis[$i$->$p$->起点]<dis[$i$->起点]                （1）

前者等于$dis(i,p)+d[p]$，后者等于$d[i]$。然而就目前状况来看，$d[i]<d[p]$，故（1）不成立。或曰$d[p]$还未确定，然而$d[p]$再松弛也不可能小于$d[i]$，因为它再要松弛也是被$i$或$d$比i更大的点松弛了。

因此有结论

                     dis[$i$->起点]≤dis[$i$->$p$->起点]               （2）

也正是因为（2）式，使得Dijkstra只能用于边权非负的图。因为如果$dis(i,p)<0$就不一定满足了。

由于每次都是从一集合中选择$d$最小的元素，故可以用堆来优化。一个点可能会进堆多次。虽然再次进堆的就无法松弛了，也就不会影响正确性。