第3章 线性模型

Posted 2021-11-30 jiaojun520

3.1 基本形式

　　给定由$d$个属性描述的示例$x=(x_{1};x_{2};...;x_{d})$，其中$x_{i}$是$x$在第$i$个属性上的取值，线性模型学习一个属性的线性组合来预测函数，即$$f(x)=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+...+w_{d}x_{d}+b（3.1）$$一般写成向量形式$$f(x)=w^{T}x+b（3.2）$$其中$w=(w_{1};w_{2};...;w_{d})$。$w$和$b$学得之后，模型（函数）就确定了。

　　下面介绍几种经典线性模型，包括回归、二分类和多分类。

3.2 线性回归

　　给定数据集$D=\\left \\{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{m},y_{m}) \\right \\}$，其中$x_{i}=(x_{i1};x_{i2};...;x_{id})$，$y_{i}\\in \\mathbb{R}$。“线性回归”试图学习一个线性模型能够尽可能拟合给定的数据。

　　先考虑输入样本只有一个属性的情况。可以表示为$D=\\left \\{ (x_{i},y_{i}) \\right \\}_{i=1}^{m}$，其中$x_{i}\\in \\mathbb{R}$。对于离散属性，若属性之间存在“序关系”，比如“大中小”三个属性显然不能随意分配值，应按“大中小”或“小中大”顺序分配赋值，可以转化为连续值，例如二值属性“高”和“矮”可转化为{1.0,0.0}；若属性之间不存在“序关系”，假如有$k$个属性值，可以转化为$k$维向量，比如“西瓜”、“南瓜”和“冬瓜”，可以转化为(0,0,1)、(0,1,0)和(1,0,0)（这是one-hot表示）。

　　线性回归学得$$f(x_{i})=wx_{i}+b，使得f(x_{i})\\approx y_{i}（3.3）$$如何求得$w和b$，关键在于衡量$f(x)$和$y$之间的差别，我们可以使用均方误差衡量，计算所有样本的真实值和预测值之间的差距，再将所有差距求和，再求极小化值即可得。即$$(w^{*},b^{*})=\\underset{(w,b)}{argmin}\\sum_{i=1}^{m}(f(x_{i})-y_{i})^2$$$$=\\underset{(w,b)}{argmin}\\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}-b)^2（3.4）$$均方误差对应了欧氏距离，基于均方误差最小化来进行求解方程的方法称为“最小二乘法”，线性回归就是通过“最小二乘法”找到一条直线，使得所有点到这条直线的欧氏距离之和最短。

　　求解$w和b$使得$E_{(w,b)}=\\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}-b)^2$最小化的过程称为线性回归模型最小二乘的“参数估计”，也就是估计参数。直接对$w$和$b$求导可得$$\\frac{\\partial E_{(w,b)}}{\\partial w}=2(w\\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}-\\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-b)x_{i})（3.5）$$$$\\frac{\\partial E_{(w,b)}}{\\partial b}=2(mb-\\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i}))（3.6）$$令上述两式为0得$w$和$b$最优闭式解$$w=\\frac{\\sum_{i=1}^{m}y_{i}(x_{i}-\\overline{x})}{\\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}-\\frac{1}{m}(\\sum_{i=1}^{m}x_{i})^2}（3.7）$$$$b=\\frac{1}{m}\\sum_{i=1}^{m}(y_{i}-wx_{i})（3.8）$$

　　更一般的情形是数据集为$D$，样本由$d$个属性描述，此时可学得“多元线性回归”。类似的可利用最小二乘法对$w$和$b$进行参数估计。为方便，把$w$和$b$吸入向量形式$\\hat{w}=(w;b)$，相应的把数据集$D$表示为一个$m\\times (d+1)$大小的矩阵$X$，其中每行对应一个示例，该行前$d$个元素对应示例$d$个属性值，最后一个恒为1（因为1和$b$相乘还是$b$），即

把标记也写成向量形式$y=(y_{1};y_{2};...;y_{m})$，则有$$\\hat{w}^{*}=\\underset{\\hat{w}}{argmin}(y-X\\hat{w})^{T}(y-X\\hat{w})（3.9）$$令$E_{\\hat{w}}=(y-X\\hat{w})^{T}(y-X\\hat{w})$，对$\\hat{w}$求导可得$$\\frac{\\partial E_{\\hat{w}}}{\\partial \\hat{w}}=2X^{T}(X\\hat{w}-y)（3.10）$$令上式为0可得$\\hat{w}$最优解的闭式解，因为涉及矩阵逆运算，需要讨论。当$X^{T}X$为满秩矩阵或正定矩阵时，可轻松得到$$\\hat{w}^{*}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y（3.11）$$令$\\hat{x}_{i}=(x_{i};1)$，最终学得的多元线性回归模型为$$f(\\hat{x}_{i})=\\hat{x}_{i}^{T}(X^{T}X)^{-1}X^{T}y（3.12）$$然而，现实中$X^{T}X$往往不是满秩矩阵，例如样本特征太多，维数超过了样本数量，导致$X$列数多于行数，$X^{T}X$显然不满秩，此时可以解出多个解，选择哪个解输出是由算法的偏好决定的，常见的做法是引入正则化项（解决过拟合）。

　　线性回归模型有许多变种，我们将最简单的形式写为$$y=w^{T}x+b（3.13）$$例如标记$y$的对数作为线性模型可得$$lny=w^{T}x+b（3.14）$$这就是“对数线性回归”，实际上它试图让$e^{w^{T}x+b}$逼近$y$。式（3.14）形式上还是线性回归，但实质是求输入到输出的非线性映射。

　　更一般地，考虑单调可微函数$g(\\cdot )$，令$$y=g^{-1}(w^{T}x+b)（3.15）$$这样模型称为“广义线性模型”，其中$g(\\cdot )$称为“联系函数”。

3.3 对数几率回归

　　上面都是关于回归任务的形式，但若是做分类任务呢？可以通过（3.15）广义线性模型，只需找到一个可微函数将分类任务真实标记$y$与线性回归模型预测联系起来即可。考虑二分类，输出为$y\\in \\left \\{ 0,1 \\right \\}$，线性回归产生预测值是$\\mathbb{R}$，可以将此时的实数转换为0/1值。最简单的是“单位阶跃函数”$$y=\\begin{cases}0, & \\text{  } z<0; \\\\ 0.5, & \\text{  } z=0; \\\\ 1, & \\text{  } z>0. \\end{cases}（3.16）$$形象化可如下图所示

上述单位阶跃函数不连续，不能用作$g^{-}(\\cdot )$，希望能找到一个可微的代替函数，“对数几率函数（简称对率函数）”正是这样一个替代函数$$y=\\frac{1}{1+e^{-z}}（3.17）$$ 上图可以看出对数几率函数是“Sigmoid函数”，将对数几率函数作为$g^{-}(\\cdot )$可得到$$y=\\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}（3.18）$$式（3.18）可变化为$$ln\\frac{y}{1-y}=w^{T}x+b（3.19）$$将$y$视为样本$x$作为正例的可能性，$1-y$作为反例的可能性，两者的比值$$\\frac{y}{1-y}（3.20）$$称为“几率”，反映了$x$作为正例的相对可能性。对几率取对数得到“对数几率”$$ln\\frac{y}{1-y}（3.21）$$以上模型称为“对数几率回归”，虽说名称是回归，但其是分类任务。其直接对分类进行建模，无需假设数据分布；其不仅预测出类别，而且得到类别的近似概率；对数函数是任意阶可导函数，有很好的数学性质。

　　那么如何确定（3.18）中的$w$和$b$呢？将（3.18）中$y$视为类后验概率估计$p(y=1|x)$，（3.19）可写为$$ln\\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}=w^{T}x+b（3.22）$$显然有$$p(y=1|x)=\\frac{e^{w^{T}x+b}}{1+e^{w^{T}x+b}}（3.23）$$$$p(y=0|x)=\\frac{1}{1+e^{w^{T}x+b}}（3.24）$$于是，可通过“极大似然法”估计$w$和$b$。给定数据集$\\left \\{ (x_{i},y_{i}) \\right \\}_{i=1}^{m}$，对率回归模型最大化“对数似然”$$l(w,b)=\\sum_{i=1}^{m}lnp(y_{i}|x_{i};w,b)（3.25）$$即令每个样本真实标记概率越大越好。令$\\beta =(w;b)$，$\\hat{x}=(x;1)$，则$w^{T}x+b$可简写为$\\beta ^{T}\\hat{x}$。再令$p_{1}(\\hat{x};\\beta )=p(y=1|\\hat{x};\\beta )$，$p_{0}(\\hat{x};\\beta )=p(y=0|\\hat{x};\\beta )=1-p_{1}(\\hat{x};\\beta )$，则（3.25）可重写为$p(y_{i}|x_{i};w,b)=y_{i}p_{1}(\\hat{x_{i}};\\beta )+(1-y_{i})p_{0}(\\hat{x_{i}};\\beta )（3.26）$将（3.26）带入（3.25），并根据（3.23）和（3.24）可知，最大化（3.25）等价于最小化$$l(\\beta )=\\sum_{i=1}^{m}(-y_{i}\\beta_{T}\\hat{x_{i}}+ln(1+e^{\\beta^{T}\\hat{x_{i}}}))（3.27）$$可根据梯度下降法、牛顿法求解得到$$\\beta^{*}=\\underset{\\beta }{argmin}l(\\beta )（3.28）$$以牛顿法为例，第$t+1$轮迭代解的更新公式为$$\\beta^{t+1}=\\beta^{t}-(\\frac{\\partial^{2}l(\\beta )}{\\partial \\beta \\partial \\beta^{T}})^{-1}\\frac{\\partial l(\\beta )}{\\partial \\beta }（3.29）$$关于$\\beta $的一阶二阶导数为$$\\frac{\\partial l(\\beta )}{\\partial \\beta }=\\sum_{i=1}^{m}\\hat{x_{i}}(y_{i}-p_{1}(\\hat{x_{i}};\\beta ))（3.30）$$$$\\frac{\\partial ^{2}l(\\beta )}{\\partial \\beta \\partial \\beta ^{T}}=\\sum_{i=1}^{m}\\hat{x_{i}}\\hat{x_{i}}^{T}p_{1}(\\hat{x_{i}};\\beta )(1-p_{1}(\\hat{x_{i}};\\beta ))（3.31）$$

3.4 线性判别分析

　　线性判别分析（LDA）是一种经典的线性学习方法，在二分类最早由Fisher提出，因此也称为“Fisher线性判别”。LDA思想：给定训练数据集，将数据全部投影到一条直线上，要求使得同类样例投影点尽可能接近、异类样例投影点尽可能远离；对新样本进行分类时，将其投影到此直线上，根据投影点位置确定样本类别。下面是详细示意图

　　给定数据集$D=\\left \\{ (x_{i},y_{i}) \\right \\}_{i=1}^{m}$，$y_{i}\\in \\left \\{ 0,1 \\right \\}$，令$X_{i}$、$\\mu_{i}$、$\\Sigma_{i}$分别为$i$类的集合、均值向量、协方差矩阵，其中$i\\in \\left \\{ 0,1 \\right \\}$。将数据投影到直线$w$上，两类样本中心在直线上投影为$w^{T}\\mu_{0}$和$w^{T}\\mu_{1}$；将所有样本点都投影到直线上，两类样本协方差为$w^{T}\\Sigma_{0}w$和$w^{T}\\Sigma_{1}w$。由于直线为一维空间，因此上述四个值都是实数（可通过矩阵向量运算可知为实数）。

　　要使得同类样例投影点尽可能接近，可以让同类样例投影点协方差尽可能小（彼此之间更加紧密，太过于松散方法会变大），即$w^{T}\\Sigma_{0}w+w^{T}\\Sigma_{1}w$尽可能小；而要使异类样例投影点尽可能远，可以让两个类的中心距离尽量大，即$\\left \\| w^{T}\\mu_{0}-w^{T}\\mu_{1} \\right \\|_{2}^{2}$尽量大。此时同时考虑两者，一个要尽量小，一个要尽量大，即可得最大化目标$$J=\\frac{\\left \\|w^{T}\\mu _{0}-w^{T}\\mu _{1}  \\right \\|_{2}^{2}}{w^{T}\\Sigma _{0}w+w^{T}\\Sigma _{1}w}$$$$=\\frac{w^{T}(\\mu _{0}-\\mu _{1})(\\mu _{0}-\\mu _{1})^{T}w}{w^{T}(\\Sigma _{0}+\\Sigma _{1})w}（3.32）$$定义“类内散度矩阵”$$S_{w}=\\Sigma _{0}+\\Sigma _{1}=\\sum_{x\\in X_{0}}(x-\\mu_{0})(x-\\mu _{0})^{T}+\\sum_{x\\in X_{1}}(x-\\mu_{1})(x-\\mu _{1})^{T}（3.33）$$以及“类间散度矩阵”$$S_{b}=(\\mu _{0}-\\mu _{1})(\\mu _{0}-\\mu _{1})^{T}（3.34）$$式（3.32）可写为$$J=\\frac{w^{T}S_{b}w}{w^{T}S_{w}w}（3.35）$$这就是LDA欲最大化的目标，即$S_{b}$与$S_{w}$的“广义瑞利商”。

　　如何确定$w$呢？式（3.35）分子和分母都是$w$的二次项，因此（3.35）解与$w$长度无关（上下长度都一样，相除可以抵消）。因此可令$w^{T}S_{w}w=1$，式（3.35）等价于$$\\underset{w}{min}-w^{T}S_{b}w（3.36）$$$$s.t. w^{T}S_{w}w=1$$由拉格朗日乘子法上式等价于$$S_{b}w=\\lambda S_{w}w（3.37）$$注意到$S_{b}w$的方向恒为$\\mu _{0}-\\mu _{1}$，令$$S_{b}w=\\lambda (\\mu _{0}-\\mu _{1})（3.38）$$带入（3.37）可得$$w=S_{w}^{-1}(\\mu _{0}-\\mu _{1})（3.39）$$由于求解$S_{w}^{-1}$可能不能求逆等问题，在实践中常对$S_{w}$进行奇异值分解，即$S_{w}=U\\Sigma V^{T}$，这里$\\Sigma$是实对角矩阵，对角线上元素是$S_{w}$的奇异值，然后由$S_{w}^{-1}=V\\Sigma ^{-1}U^{T}$得到$S_{w}^{-1}$。

　　可以将LDA推广为多分类任务。假定存在$N$个类，且第$i$类示例数为$m_{i}$，定义“全局散度矩阵”$$S_{t}=S_{b}+S_{w}=\\sum_{i=1}^{m}(x_{i}-\\mu )(x_{i}-\\mu )^{T}（3.40）$$其中$\\mu$是所有示例的均值向量。将类内散度矩阵$S_{w}$重定义为每个类别的散度矩阵之和，即$$S_{w}=\\sum_{i=1}^{N}S_{w_{i}}（3.41）$$其中$$S_{w_{i}}=\\sum_{x\\in X_{i}}(x-\\mu _{i})(x-\\mu _{i})^{T}（3.42）$$由（3.40）~（3.42）可得$$S_{b}=S_{t}-S_{w}=\\sum_{i=1}^{N}m_{i}(\\mu _{i}-\\mu )(\\mu _{i}-\\mu )^{T}（3.43）$$显然，多分类LDA有多种方法实现：使用$S_{b},S_{w},S_{t}$三者中任何两种即可。常见的一种是采用优化目标$$\\underset{W}{max}\\frac{tr(W^{T}S_{b}W)}{tr(W^{T}S_{w}W)}（3.44）$$其中$W\\in \\mathbb{R}^{d\\times (N-1)}$，$tr(\\cdot )$表示矩阵的迹。（3.44）可通过广义特征值问题求解$$S_{b}W=\\lambda S_{w}W（3.45）$$$W$的闭式解是$S_{w}^{-1}S_{b}$的$d‘$个最大非零广义特征值所对应的特征向量组成的矩阵，并且$d‘\\leqslant N-1$。

　　若将$W$视为一个投影矩阵，多分类LDA将样本投影到$d‘$维空间，$d‘$常远小于$d$。于是可通过此投影减小样本点维数，因此LDA也被视为监督学习的降维技术。

3.5 多分类学习

　　一般情况下都是可以将二分类推广到多分类，利用二分类解决多分类问题。考虑$N$个类别$C_{1},C_{2},...,C_{N}$，多分类基本思路是“拆解”，即将多分类任务拆解为多个二分类任务。先进行拆解，然后每个小的二分类训练一个分类器；测试时，对这些分类器结果进行集成获得最终多分类结果。关键在于如何拆解，以及如何集成多个分类器。

　　经典拆分有三种：“一对一（OvO）”、“一对其余（OvR）”和多对多（MvM）。给定数据集$D=\\left \\{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{m},y_{m}) \\right \\}$，$y_{i}\\in \\left \\{ C_{1},C_{2},...,C_{N} \\right \\}$。OvO将这$N$个类别两两配对，产生$N(N-1)/2$个二分类任务。测试阶段，新样本同时提交给所有$N(N-1)/2$个二分类器，最终通过投票产生结果：即把预测的最多的类别作为最终分类结果，如下图所示：总共4(4-1)/2=6个分类器，有三个分类器测试为$C_{3}$，所以最终结果为$C_{3}$。

　　OvR每次将一个类作为正例、其余类作为反例训练出$N$个分类器。测试时若仅有一个分类器预测为正类，则对应的类别标记最为最终分类结果。如上图所示，只有分类器$f_{3}$将测试样例预测为“+”，此时类别为$C_{3}$。若有多个分类器预测为“+”，则考虑分类器置信度，置信度最大的类别标记作为分类结果。

　　MvM每次将若干个类作为正类，若干个其他类作为反类，显然OvO个OvR是其特例。MvM的正、反类构造必须有特殊的设计，不能随意选取。这里介绍一种常用MvM技术：“纠错输出码（ECOC）”。ECOC分为编码和解码两个过程，编码是对$N$个类别作$M$次划分，每次划分将一部分划分为正类、一部分划分为负类，形成一个二分类训练集；这样一共产生$M$个训练集，训练出$M$个分类器；解码是$M$个分类器分别对测试样本进行预测，这些预测标记组成一个编码。将这个预测编码与每个类别各自的编码进行比较，返回其中距离最小的类别作为最终预测结果。

　　编码矩阵可以表示上面的情，分为二元码和三元码，前者将每个类别指定为正类（+1）或负类（-1），后者还可以指定停用类（0）。下图展示了相应的编码，在测试阶段，各分类器预测结果联合起来就形成了测试示例的编码，该编码与各类所对应的编码求距离，将距离最小编码所对应的类别作为预测结果。

　　一般来说，对同一个学习任务，ECOC编码越长，纠错能力越强，因为中间如果有个别分类器预测错误，但是总体上不影响距离的计算，还是得到最小距离，那么ECOC就能很大程度上进行纠错。

3.6 类别不平衡问题

 　　前面介绍的分类方法都有一个共同假设，即不同类别的训练集数目差不多。如果不同类别的训练集数目相差很大，则会对学习过程造成困扰（毕竟1000个样本中只有1个正类，不用学习，随机猜测准确率都有99.9%）。类别不平衡是指分类任务中不同类训练样例数目差别很大的情况。

　　当我们使用线性方程$y=w^{T}x+b$对新样本$x$进行分类时，事实上使用预测出的$y$和一个阈值进行比较，例如$y>0.5$时判定为正类。$y$表达了正例的可能性，几率$\\frac{y}{1-y}$反映了正例可能性与反例可能性之比，阈值设置为0.5恰表示为正反例可能相同，分类决策规则为$$\\frac{y}{1-y}>1 则预测为正例（3.46）$$当训练集中正反例数目不同时，令$m^{+}$表示正例数目，$m^{-}$表示反例数目，则观测几率是$\\frac{m^{+}}{m^{-}}$，观测几率就代表了真实几率。因此，只要分类器预测几率高于观测几率就应判定为正例，即$$若\\frac{y}{1-y}>\\frac{m^{+}}{m^{-}} 则预测为正例（3.47）$$但是，我们分类器是基于（3.46）进行决策，因此需对预测值进行调整，使其在基于式（3.46）决策时，实际是在执行（3.47）。只需令$$\\frac{y‘}{1-y‘}=\\frac{y}{1-y}\\times \\frac{m^{-}}{m^{+}}（3.48）$$这就是类别不平衡学习的一个基本策略——“再缩放”。

　　（以下均假设正类样例过少）再缩放难以实现，主要因为“训练集是真实样本总体的无偏采样”这个假设往往不成立。现有技术有三种做法：第一类是直接对训练集中反类样例进行“欠采样”，即去除一些反例使得正、反例数目相近；第二类是对训练集里正类样例进行过采样，即增加正例使得正、反例数目相近；第三类是直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将（3.48）嵌入到其决策过程中，称为“阈值移动”。