Python之Numpy：线性代数/矩阵运算

Posted 2021-11-29 johnnyzen

一 要点

• 假定AX=b，求解未知矩阵X 【线性代数中常遇到的运算问题】
• 矩阵转置A^(T)
• 矩阵的逆A^(-1)
• 矩阵行列式的值|A|
• 矩阵的秩 rank(A)
• 矩阵的迹 trace(A)
• 其它
  • 单位矩阵
  • 0向量/矩阵
  • ...

二 示例源码

2.1 求解AX=b中的未知参数矩阵X

import numpy as np

# Hypothsis : A*X = b

A = [[2,1,2],
     [3,1,0],
     [1,1,-1]];
b = np.transpose([-3,5,-2])# 转置
#[or] b = np.transpose(np.array([-3,5,-2]))# 转置

# 求解未知参数矩阵X
X = np.linalg.solve(A,b) # 方式一：直接使用numpy的solve函数一键求解
#A_inv=np.linalg.inv(A) # 方式二：先求逆运算，再点积求值
#X=np.dot(A_inv,b) # a.dot(b) 与 np.dot(a,b) 效果相同；but np.dot(a,b)与np.dot(b,a)效果肯定是不同的(线性代数/矩阵常识)
print("方程组的解：\n",X);

# [output]
方程组的解：
 [ 4.4 -8.2 -1.8]

2.2 利用最小二乘法拟合函数模型

• 原方程
  \[ f(x) = a + bx^3 \]
• 其法方程
  \[ A^T A \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = A^T y \]
  即：
  \[ \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = \left( A^T A \right)^{-1} A^T y \]

import numpy as np

A = [
    [1,pow(-3,3)],
    [1,pow(-2,3)],
    [1,pow(-1,3)],
    [1,pow(2,3)],
    [1,pow(4,3)]
];

At =  np.transpose(A); # A的转置矩阵

y = np.transpose([14.3,8.3,4.7,8.3,22.7]);


# 令 (a ,b)^T 为 未知参数X
X = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(At,A)),At),y)
print(X);

# [output]
[ 10.67505325   0.13679816]

2.3 线性代数常用运算

print("原矩阵A：\n",A);
print("原矩阵b：\n",b);

print("转置矩阵A^T：\n",np.transpose(A)); # 转置
print("矩阵的行列式值|A|：\n",np.linalg.det(A)); # 方阵的行列式值：|A|
print("矩阵的迹trace(A)：\n",np.trace(A)); 
print("矩阵的秩rank(A)：\n",np.linalg.matrix_rank(A)); 
print("逆矩阵A^(-1)：\n",np.linalg.inv(A)); #矩阵的逆运算(条件：矩阵A可逆(行列式值不为0)| 矩阵A为方阵)

print("*"*30); # 分隔线

print("N阶单位矩阵:\n",np.eye(4));

# [output]
原矩阵A：
 [[2, 1, 2], [3, 1, 0], [1, 1, -1]]
原矩阵b：
 [-3  5 -2]
转置矩阵A^T：
 [[ 2  3  1]
 [ 1  1  1]
 [ 2  0 -1]]
矩阵的行列式值|A|：
 5.0
矩阵的迹trace(A)：
 2
矩阵的秩rank(A)：
 3
逆矩阵A^(-1)：
 [[-0.2  0.6 -0.4]
 [ 0.6 -0.8  1.2]
 [ 0.4 -0.2 -0.2]]
**********************
N阶单位矩阵:
 [[ 1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1.]]

三 推荐文献

• Numpy - 菜鸟教程