[CF 487C Prefix Product Sequence]

Posted 2021-11-29 greenduck

题意

将1~n的正整数重排列，使得它的前缀积在模n下形成0~n-1的排列，构造解或说明无解。n≤1E5。

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思考

小范围内搜索解，发现n=1，n=4和n为质数时有解。

不难发现，n一定会放在最后，否则会多出很多的0。

1.n≥4且n为合数：由于n能写成pq的形式，其中pq|(n-1)!，因此第n-1的位置上一定为0，故无解。

2.n为质数：按以下方式构造。令答案a_i=i*(i-1)^-1（若i-1=0,令其逆元为1）。则其前缀积为1,2,3,...,n-1,0。由于i*(i-1)^-1=j*(j-1)^-1时只可能i=j，因此a序列一定是互不相同的。