数据结构：浅谈平衡二叉树

Posted 2021-11-29 zealyoung

前言碎语

记得第一次读到关于二叉树的插入与平衡的操作，是在《大话数据结构》里，当然觉得好像有那么一回事，但毕竟纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。看懂了，不代表自己就真的会了。当时算是有一个感性认识吧，因为没有自己动手实践过，所以理解的并不深刻。

今天是重新学习，并且是自己动手实现了一遍，才算有了一点浅显的认识。

一点浅薄的认识

对于那些术语：左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋什么的，刚接触，确实有一种“哇，好厉害的样子~”的感觉，然而没有自己动手之前，一切都显得很虚无。

在自己动手理清楚了一遍后，我是这么来理解这四种操作的：

首先，这个左、右，说的都是结点的位置。
左单旋，即表示：左边的结点要发生旋转，那要旋到哪呢？旋到上一层的父结点那；
左右单旋，即表示：左结点的结点要发生旋转，旋到哪呢?先从右孩子的位置旋到它的父结点那，然后在作为左孩子再往上旋到上一层父结点。

所以，结点的实际旋转方向和这四个名词的左右是相反的。并且，每一次发生旋转，都是相对与最上层（也就是最终要旋转到的那一次父结点）为“相对点”，其实也就是根结点，最终返回的也是这个结点的位置。

具体的思路

具体的实现，结合代码来理解会好很多，所以，全文贴在这里：

/* AVL */
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

typedef int ElementType;
typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree;
struct AVLNode{
    ElementType Data;
    AVLTree Left;
    AVLTree Right;
    int Height;
};

AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A );
AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A);
AVLTree SingleRightRotation ( AVLTree A);
AVLTree DoubleRightLeftRotation ( AVLTree A);
AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X );

int Max( int a, int b )
{
    return a > b ? a : b;
}

//获取树的高度
//只有一个结点，高度为0
int GetHeight( AVLTree A )
{
    if ( A )
        return Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
    else
        return 0;
}

//左单旋
//麻烦结点在发现者的左子树的左边
//根结点A，左子树结点B，BL插了两个
//解决：把B作为根结点，BR接到A左边，A接到B右边

AVLTree SingleLeftRotation( AVLTree A)
{
    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    //还要记得更新各自结点的高度
    A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
    B->Height = Max(GetHeight(B->Left), A->Height) + 1;

    //此时B为根结点，返回B
    return B;
}

//右单旋
AVLTree SingleRightRotation( AVLTree A)
{
    AVLTree B = A->Right;
    A->Right = B->Left;
    B->Left = A;
    A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
    B->Height = Max(A->Height, GetHeight(B->Right)) + 1;

    return B;
}

//左单旋：把左边的子结点旋上来，左是指左边的结点（方向是相反的）
//右单旋：把右边的子结点旋上来
//且左单旋、右单旋都是“相对于”根结点而言的

//左右双旋（左结点的右结点要旋上来）
//麻烦结点在发现者左子树的右边（的左孩子或右孩子）
//即A现在是根，B是左子，C是B的右子
//先把C右旋上一层，再左旋上一层
AVLTree DoubleLeftRightRotation( AVLTree A )
{
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    return SingleLeftRotation(A);
    //左单旋和右单旋返回的都是“根结点”的位置
}

//右左双旋（右结点的左结点要旋上来）
AVLTree DoubleRightLeftRotation( AVLTree A )
{
    A->Right = SingleLeftRotation(A->Right);
    return SingleRightRotation(A);
}

//建立树的过程（如何插入）
AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X)
{
    //先插入再调整，空树的情况下要申请一个空间
    if ( !T ) {
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    }
    else if ( X < T->Data ) {
        T->Left = Insert(T->Left, X);
        //判断是否需要旋转的情况
        //如果只是通过T的高度，无法判断要怎么旋转
        //也不需要大于等于2
        if ( GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == 2 ) {
            if ( X < T->Left->Data )
                //注意一点，不管单旋，还是双旋，都是以相对于发现者而言的的
                T = SingleLeftRotation(T);
            else
                T = DoubleLeftRightRotation(T);
        }
    }
    else if ( X > T->Data ) {
        //先把结点插进去，然后再进行判断
        T->Right = Insert(T->Right, X);
        if ( GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == -2 ) {
            if ( X > T->Right->Data )
                T = SingleRightRotation(T);
            else
                T = DoubleRightLeftRotation(T);
        }
    }
    //X == T->Data时不需要插入，说明重复了，二叉树里不考虑重复的结点
    //最后，更新结点的高度
    T->Height = Max(GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right)) + 1;

    return T;
}

这里有对应的一道实战题，也贴上：

Root of AVL Tree (25 point(s))
An AVL tree is a self-balancing binary search tree. In an AVL tree, the heights of the two child subtrees of any node differ by at most one; if at any time they differ by more than one, rebalancing is done to restore this property. Figures 1-4 illustrate the rotation rules.
Now given a sequence of insertions, you are supposed to tell the root of the resulting AVL tree.
Input Specification:
Each input file contains one test case. For each case, the first line contains a positive integer N (≤20) which is the total number of keys to be inserted. Then N distinct integer keys are given in the next line. All the numbers in a line are separated by a space.

Output Specification:
For each test case, print the root of the resulting AVL tree in one line.

Sample Input 1:
5
88 70 61 96 120
Sample Output 1:
70
Sample Input 2:
7
88 70 61 96 120 90 65
Sample Output 2:
88

最后，作为小白的嵌套循环，唯一能做的，就是耐心、细致，一点点进步。