数学知识小结#1

Posted 2021-11-29 rye-catcher

PREFACE

时隔数月尝试拾起以往的OI知识发现异常的艰难,于是准备慢慢的填坑,可能比较简略并且穿插不少英文(万一面试的时候问起OI还能说几句pao),但是我英语太菜了，如果您发现了错误或是需要改进的地方，欢迎联系我或是在下方评论

小结#1主要是数论部分，小结#2到时看情况在更吧

update:里面的除法都是指下取整

质数与约数Prime Number&Divisors

质数筛法Sieve

• 埃拉托斯特尼筛法Sieve of Eratosthenes
  主要思想是任意整数x的倍数2x,3x...都不是质数
  由于在筛x的倍数时,小于\(x^2\)的数已经被筛过(显然),我们直接从\(x^2\)开始筛

  void EratosthenesSieve(int n){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
      for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i])continue;
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
      }
  }

• 欧拉线性筛Euler‘s Linear Sieve

  埃式筛在筛一些数时还是会重复(比如12会被2和3同时筛一遍)，但是只要我们让我们要筛的数的质因子从小到大累计，即每个数只会被它的最小质因子筛一次，这样的话每个数只会被筛一次，复杂度就是线性的了

  void EulerSieve(int n){
      memset(vis,0,sizeof(vis));
      memset(prime,0,sizeof(prime));
      cnt=0;
      for(ri i=2;i<=n;i++){
          if(vis[i]==0){//i is a prime number
              prime[++cnt]=i;
          }
          for(ri j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
              vis[i*prime[j]]=1;
              if(i%prime[j]==0)break;//now i can be divided by prime[j],so prime[j+1] is not the least prime divisor of the i*prime[j+1]
          }
      }
  }

质因数分解Prime Factorization

• 算术基本定理Fundamental Theorem Of Arithmetic

  也称为唯一分解定理(unique factorization theorem),是指任何一个大于1的正整数都能被唯一分解为有限个质数的乘积,可写作

  \[N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\]

  其中\(p_i\)是质数且\(p_1<p_2<...<p_m\)

  Every positive integer n>1 can be represented in exactly one way as a product of prime powers

  \[N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\]

  where \(p_1<p_2<...<p_m\) are primes and the \(n_i\) are positive intergers.

  (来源: 维基百科)

最大公约数Greatest Common Divisors

• 定义:

  根据字面意思,自然数\(a\)和\(b\)的公约数中最大的d就是a和b的最大公约数,称为\(gcd(a,b)\)

• 定理:

  \(gcd(a,b)\)*\(lcm(a,b)=a\)*$b $

• 更相减损法

  \(\forall a>b,a,b \in N\) \(gcd(a,b)=gcd(a,a-b)=gcd(b,a-b)\)

• 辗转相除法

  \(\forall a,b \in N\) \(gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)\)

积性函数相关Multiplicative Funtion

• 积性函数定义:

  若对任意互质\(a,b\)(即\(gcd(a,b)=1\)),有\(f(ab)=f(a)f(b)\),则称函数\(f\)为积性函数

  特殊地,若对任意正整数都有\(f(ab)=f(a)\) * \(f(b)\),则称函数\(f\)为完全积性函数(Completely Multiplicative Function)

  显然若\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\),则\(f(N)= \prod_{i=1}^m f(p_i^{c_i})\)

  于是求一个积性函数我们可以设法套用筛法求出

• 欧拉函数(Euler Tocient Funciton)定义:

  在\(1\)到\(N\)中与\(N\)互质的数的个数称为欧拉函数,记作\(\phi(N)\)

  若\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\)

  则\(\phi(N)=N\)*\(\frac{p_1-1}{p_1}\)*\(\frac{p_2-1}{p_2}\)*\(...\)*$ \frac{p_m-1}{p_m}$

  这个式子可以由容斥原理(The Principle Of Inclusion-exclusion)推得

• 欧拉函数性质

  • 对于一个质数N,\(\phi(N)=N-1\)

  • 对于\(N=p^k\)(\(p\)是质数),\(\phi(N)=p^k-p^{k-1}\)

    简要证明:此时只有\(p,2p,3p...\)等\(p^{k-1}\)个数与\(N\)不互质

  • \(\sum_{d|n} \phi(d)=n\)

    简要证明:设\(f(n)=\sum_{d|n} \phi(d)\)，发现它是个积性函数

    又因为\(f(p_i^{c_i})=\phi (1) + \phi (p)+...+\phi (p_i^{c_i})\)根据上一条性质,就等于\(p_i^{c_i}\)

    于是\(f(n)= \prod_{d|n} f(p_i^{c_i}) = \prod p_i^{c_i} =n\)

  • \(\phi(n)=\sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}\)

    简要证明: 莫比乌斯反演,见下

• 莫比乌斯函数(Mobious Function)定义

  设正整数\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\)

  定义函数
  \(\mu(n)= \begin{cases} (-1)^m & \text{when $c_1=c_2=…=c_m=1$,}\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)

  为莫比乌斯函数

  它有个比较有用的性质

  \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)

  它也是积性函数,于是我们可以运用欧拉线性筛求出\(1-N\)的莫比乌斯函数

  void Mobious(int n){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1]=1;
    for(ri i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0){//prime number
            mu[i]=-1;
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(ri j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;//c_i !=1
                break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
  }

• 数论函数(Arithmetic Funtion)

  似乎也可以说Number Theoretic Function,是指定义域为正整数的函数

  A number theoretic funtion is a function whose domain is the set of positive integers

• 莫比乌斯反演公式(Mobius Inversion Formula)

  对于两个数论函数\(F(n)\)和\(f(n)\),且满足

  \(F(n)=\sum_{d|n} f(d)\)

  那么\(f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) F(\frac{n}{d})\)

  简要证明:

  \(\sum_{d|n} \mu(d) F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n} \mu(d) \sum_{i|{\frac{n}{d}}} f(i)\)

  对于第二个式子,我们考虑每个\(f(i)\)对几个\(\mu(d)\)作贡献,发现等价于

  \(\sum_{i|n} f(i) \sum_{d|{\frac{n}{i}}} \mu(d)\)

  再由\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\),得只有i=n时后面的sigma不是0,也就是等于\(f(n)\)

  现在让我们证明前文提到的这个式子\(\phi(n)=\sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}\)

  先引入一个\(id\)函数,\(id(n)=n\)

  \(\because id(n) = n = \sum_{d|n} \phi(d)\)

  \(\therefore \phi(d) = \sum_{d|n} \mu(d) id(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}\)

• 狄利克雷卷积(Dirichlet Convolution)

  两个数论函数f和g的卷积为\((f ? g)(n)=\sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})\) ,后面的括号可以省略不写

  满足交换律,结合律,分配律

  两个积性函数的卷积依然为积性函数

  前面的莫比乌斯反演也可以通过狄利克雷卷积证明

同余Modular Arithmetic

定义

若整数\(a\)与\(b\)除以正整数n的余数相等,则称\(a,b\)模\(n\)同余,记为\(a \equiv b \pmod n\)

"For a positive integer n, two numbers a and b are said to be congruent modulo n, if their difference a-b is an integer multiple of n(that is , if there is an integer \(k\) such that a-b = kn),and is denoted \(a \equiv b \pmod (n)\).

The number n is called the modulus of the congruence."

来源:维基百科

费马小定理Fermat‘s Little Theorem

若\(p\)是质数,则对任意正整数\(a\),有\(a^p \equiv a \pmod p\)

欧拉定理Euler Theorem