生活日用算法之NIM博弈

Posted 2021-11-28 fbw-gxy

故事还是得从笔者某次去ktv说起。席间见到某汉子拿出15个色子，分成3，5，7三组，开始和妹子按照以下规则玩耍：

1、每次可以从任意一组中取任意个色子

2、取到最后一组的人赢

任意先后手，大多是某汉子一直赢，然后妹子一直喝，然后。。。

 

故事背景大概就是这样，回去后我尝试用枚举的方式去寻找必胜策略。大概可以等到以下形式的必胜组合2,2;3,3;4,4;5,5;1,2,3;1,4,5等，但转念一想如果玩的多了妹子也背下了必胜组合，我方就必须得实时更新自己脑海中的必胜组合，这不符合我们一个理科生的世界观。于是仔细百度了一下此类问题，发现原来早走定论，就是一个MIN博弈而已。

 

先来讲下异或运算的概念，简单来讲，设a不等于b,则a⊕b=1,a⊕a=0,b⊕b=0,b⊕a=1，文字表述如下：如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。

 

接下来我们回到问题本身，如何在此游戏中保持必胜，简单来讲，对于取到最后一组的人赢的情况，我们只需保证，每次自己取完，使得各组的二进制异或运算结果为0即可。或者说，保证各组转化二进制后，各位数上的1的总量为偶数

简单证明如下：

1、首先当我方取掉最后一组取得胜利后，剩余情况符合上述情况，简称胜利态好了。

2、胜利态中的任意操作后，总会转化为非胜利态。总量减少，被移动的那一组一定有二进制1变0，那么这一位的1总量偶数变奇数。

3、由胜利态转换来的非胜利态，一定可以通过一次移动，再转换为胜利态：

因为无论对方移动那一堆，其移动后消失的二进制最大值，一定有另一堆具备。。否则异或运算不会为0。因为a与任意个0进行异或运算，结果一定为1此时，把对应堆最大值取掉，其余堆对应移动即可。

举例说明下，比如，现在有三堆为1+2；1+4；2+4这种情况，对方选择从第三堆中移除3个， 此时可以此变换转变为4-1，即110->11，可以发现变化的位置为第三位和第一位。我么只要找到4对应存在的位置，即2+4，二进制110，
然后只要对他的第三位和第一位取反，变成011即可。

实际操作中，如果发现你先手总是赢，你给她摆一个胜利态让她先手，就可以继续套路了，比如5,9,12

 

为了增加趣味性，可以把规则变为取到最后一个的输，这时候问题就转化为了反NIM问题

此问题的必胜态与必输态如下：

1、如果剩余所有堆均为1，则根据堆总数为偶数为必胜态。

2、如果剩余堆的中只有一堆不为1，则各组的二进制异或运算结果必不为0，则此状态为必输态。

3、如果剩余堆中有多余一堆不为1，则各组的二进制异或运算结果为0为必胜态。

 

证明如下：

在对于两组以上，我方保持3状态，对方只能做出非3状态，我方可转换为3

只剩两组非1时，我方保持3状态，对方最终将只能转变为2状态。详解如下：

如果1的数量为偶数，非1堆保持相同，为奇数，非一堆保持一个比另一个多1。
持续取两堆时，前者转变为偶数个1与2，2。。对方取2，2任意，则会变为必胜态3状态，
后者终转变成2，3与奇数个1，此是对方取一个1，则我方取3->2编程上述状态，对方取3->2我方取1.其余取法对方会呈现必输态2

 

总结来讲，非1堆大于1时，保持与NIM博弈同种策略即可

 

玩法继续多样性，还可以规定每次最多只能去k个，此时的必胜态是把各堆转化为二进制，是取二进制1的总数mod k为0即可。证明略。