单位根反演

Posted 2021-11-28 cjyyb

单位根反演

看起来原来是写过一次这道题目的。
然而从来没有想过问什么。
所以来从头算一算QwQ。
式子是这样的：
\[\forall k,[n|k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}\]
简单的证明：
首先当\([n|k]\)的时候，\(\omega_n^{ik}=\omega^0=1\)，所以原式等于\(1\)。
否则是一个等比数列求和，\(\displaystyle \frac{1}{n}\frac{\omega_n^{nk}-\omega_n^0}{\omega_n^k-1}=0\)。

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加入我们要算某个多项式的特定倍数的系数和。
也就是要求这个：\(\displaystyle \sum_{i=0}^{[\frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)\)
那么我们来推推式子：
\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{[\frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)&=\sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\&=\sum_{i=0}^n [x^i]f(x)\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{k}^{ji}\&=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^n a_i\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{k}^{ij}\&=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n a_i(\omega_k^j)^i\&=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(\omega_{k}^j) \end{aligned}\]