不等式基础

Posted 2021-11-28 aserrrre

鸣谢：zzt，ych，快膜拜啊

 

大家好我是hrh，最近某些人在D我，于是今天我有点生气，收录了一发不等式问题。如果你是队员我没话讲，否则都给我闭嘴。先掂量一下你们的水平，再考虑要不要随便怼人。

由于我不用latex渲染和屏幕背景，我事先说明，我用(a)^(b)表示a的b次方，如a^0.5表示根号a。如果因为我不写latexD我，那我也没有办法。

高中大学基础的不等式有调和算术几何幂平均不等式，均值不等式以及均值不等式的推广（级数形式），三角换元调和式，柯西不等式，权方和不等式应用和伯努利不等式（同样的级数推广），排序不等式，切比雪夫不等式，舒尔不等式，母不等式。在WC里面出现的多是均值不等式，所以一定要学好基础。国队的选拔题基本不走这个套路，就没有走不等式的套路了。

我的顺序式从简单到复杂，不等式的证明我不再给出，因为太简单了。

阿贝尔变换

这个变换主要在省赛出现，大概是大题的第一题，公式如下。

k=1∑n(AkBk)=SnBk+k=1Σn-1Sk(Bk-Bk+1)

然后我们容易得到拉格朗日恒等式，顺便带过和式变换：(m个Σ)1=C(m,n+m-1)，我们通过数学归纳法证明，过程略过。

上题：2001年省赛题，题目不贴，省赛题没什么好贴的，太水。大家自己做，然后讲思路。

思路：我们对阿贝尔变换求逆，然后柯西一波就满分了。

模式变换

额，循环和会不会，老套路。这个变换我不用讲，就是轮换式法则啊。

上题：我还是贴一下题目吧。

0<a,b,c<1,证明(1+a)^(-0.5)+(1+b)^(-0.5)+(1+c)^(-0.5)<=3*[1+(abc)^(1/3)]^(-0.5)

经典的模式变换，我们乱搞一下就出来答案了。

残余问题

 

求导积分，留坑

留坑在此，凸函数，Jensen预定。

还有不动点之类的，这个我不是很会，暂时没法填坑。

无理函数我们用三角还原，或者是转换为圆锥曲线的切线问题，略。

复合函数的留坑在此，是一试的重点。

复平面的问题，利莫夫公式展开，双曲暴力也可以。留坑在此

 

 

上面的几个热点专题，可以去问zzt，今天因为初赛模拟居然有一题挂了被他说菜，我只好坦然接受。睿智的我不知道三角形面积公式。

然后我要安利一下我的数列那一章，其实还可以。

下面才是重点部分

 

我们正式进入国赛部分，我虽然没有进过队，但是经验可不会少于队员们。

均值不等式和柯西不等式

 

首先均值不等式是初中生就会的，基本结论如下：

0<ab<(a+b)*(a+b)/4,

2*sqrt(ab)<a+b<sqrt[2*(a*a+b*b)]

推广式：[(A1+A2+A3...An)/n]^n>=A1A2A3...An
弱化式：[(a+b+c+d)/4]^4>=abcd

变换式自己yy，太多，比如[(a*a+b*b)/2]^(0.5)>=0.5(a+b)之类

柯西不等式是个很优秀的东西，但是要小心越界。

标准式：(Σai*ai)*(Σbi*bi)>=(Σaibi)^2

推广式：sqrt(Σai)*sqrt(Σbi)>=Σsqrt(aibi)

其实这个推广式非常水，和切比雪夫一样水，哈哈。

上题：http://www.docin.com/p-67858410.html中间的土耳其集训题

首先我们注意到a^3+b^3+c^3>=3abc

得到3sqrt(xyz)<=x*x*sqrt(yz)+y*y*sqrt(xz)+z*z*sqrt(xy)

构造加强式：6xyz<=x*x*sqrt(yz)+y*y*sqrt(xz)+z*z*sqrt(xy)<=x*x(y+z)+y*y(x+z)+z*z(x+y)

所以：9xyz<=(x+y+z)(xy+yz+xz)

故(x+y)(y+z)(x+z)>=8/9(x+y+z)(xy+yz+xz)

继续构造加强式：27/4(x+y)(y+z)(x+z)>=[sqrt(x+y)+sqrt(y+z)+sqrt(x+z)]^2>=3[sqrt((x+y)(y+z))+sqrt((y+z)(x+z))+sqrt((x+y)(x+z))]>=9[(x+y)(y+z)(x+z)]^(1/3)>=9*[8/9*(x+y+z)]^(1/3)>=6sqrt(3)

中间我们运用了舒尔不等式，都差不多。点评一下这一题：国队的较难题，也不是不好想，综合性太强了一般的省队队员都不会做，hrh做了2个小时。1小时做出来的都是神仙。

上题：2005年波罗的海奥林匹克：a,b,c>0,abc=1,证明a/(a*a+2)+b/(b*b+2)+c/(c*c+2)<=1

特么的我现在还是不会做，这一题真的是惨无人道。

然后2007年的北方赛估计福州没有人会做的，母不等式的梗。

其实真的很好想到，柯西然后取倒数，求和。

上题：42届IMO，这一题很有名，一题多解。

首先我的做法是柯西均值一起上，刚下去了。然后居然是构造函数的裸题！我们构造一个形如a^3/(a^3+b^3+c^3)的函数求和即可。

最后推荐一下46，47IMO的赛题，都是按照4个小时的水平出卷的，非常有难度。

总结一下我们的套路：柯西和均值通常一起出现，要综合起来考虑，然后大家需要备好常用的结论，看到那个形式就知道用什么变形。比如3(x*x+y*y+z*z)>=(x+y+z)^2就是一个基础推论。

作业意思一下：2007亚太奥赛，2009塞尔维亚国家集训队

PS：上面那两题如果有新的做法，记得来踩hrh

权方和不等式和伯努利不等式

由于作者太困，他先睡觉去了。这两个不等式，以后再说。