CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend & hihocoder1942 单调序列

Posted 2021-11-28 wangyiming

这两个题是一样的，不过数据范围不同。

思路1：

在CF713C中，首先考虑使生成序列单调不下降的情况如何求解。因为单调上升的情况可以通过预处理将a[i]减去i转化成单调不下降的情况。

首先，生成的序列中的每个数一定是原序列中的数。于是可以通过dp+离散化技巧解决。dp[i][j]表示把前i个数变成单调不下降的序列，并且a[i]不超过第j大的数所需要的最小代价。

实现1：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int N = 3005;
 5 ll a[N], dp[N][N];
 6 int main()
 7 {
 8     int n;
 9     while (cin >> n)
10     {
11         for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> a[i]; a[i] -= i; }
12         vector<ll> v(a + 1, a + n + 1);
13         sort(v.begin(), v.end());
14         v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
15         int m = v.size();
16         for (int i = 1; i <= n; i++)
17         {
18             for (int j = 0; j < m; j++)
19             {
20                 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + abs(a[i] - v[j]);
21                 if (j) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
22             }
23         }
24         cout << dp[n][m - 1] << endl;
25     }
26     return 0;
27 }

思路2:

n²的复杂度不足以解决hihocoder1942，因此需要进行优化。下面这种数形结合的斜率优化思路参考了

https://codeforces.com/blog/entry/47094?#comment-315161

以下的代码是针对hihocoder1942的实现：

实现2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100005;
int a[N];
ll solve(int n)
{
    ll ans = 0;
    priority_queue<int> pq;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        pq.push(a[i]);
        if (a[i] < pq.top())
        {
            ans += (ll)pq.top() - a[i];
            pq.pop();
            pq.push(a[i]);
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n, x;
    while (cin >> n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
        ll ans = solve(n);
        reverse(a + 1, a + n + 1);
        ans = min(ans, solve(n));
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}