实用性程序弧微分计算圆周长

Posted 2021-11-28 ymy666

最近学了学关于微积分的知识（当然，这还是最简单的），于是想到利用微分进行近似计算圆周长（除以2倍半径就是圆周率pi）

思路：

首先把圆放在直角坐标系中，不妨设圆心（0，0），半径r = 1。 因而，圆的标准方程为 x^2+y^2  = 1   （1）

下面开始微积分大法：(对圆方程这个隐函数求导数）

对方程（1）两边对x求导数： 2*x + 2*y *  y′ = 0  (解释一下：x^2 的导数为 2x ,  y^2 的导数为 2y * y′  ,  y′就是y对x的导数 ， 右边常数1的导数为 0）

解出 y‘ = - x/y   

根据微分 : dy = y‘ * dx , 再由弧微分的计算公式（实际上就是勾股定理）， dx 对应的弧长约为 √dx^2+dy^2  .  图中MM‘ 近似用MT 表示。

 

然后让dx取一个趋近于0的数，一段一段求和即可（类似割圆法的思想）

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double dx = 1,sum = 0,x,y,dy;

int main()
{
    int n;
    cin >> n; //精确程度 
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		sum = 0;	dx *= 0.1;
		printf("delta x = %llf ... sum = ",dx);
  	    for (x = dx ; x <= 1-dx  ; x += dx)
  	    {
   	   	    y = sqrt(1-x*x);
    	    dy = -x/y*dx;
    	    sum += sqrt(dx*dx+dy*dy);
      		 // printf("%.5f %.5f %.5f\\n",x,y,sum);
     	}
    	sum += 2*sqrt(dx*dx+dy*dy);
   		printf("%lf\\n",sum*4);		
    }
    return 0;
}

 

实际测试结果：                                                            

 

 理论结果：