P5353 模板树上后缀排序

Posted 2021-11-27 xht37

题目地址：【模板】树上后缀排序

我们尝试把普通 SA 改成树上 SA，所以先把普通 SA 贴上来。

namespace SA {
    int sa[N], rk[N], tp[N], tx[N];
    
    inline void tsort() {
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ++tx[rk[i]];
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] += tx[i-1];
        for (int i = n; i; i--) sa[tx[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
    }

    inline bool pd(int i, int w) {
        return tp[sa[i-1]] == tp[sa[i]] && tp[sa[i-1]+w] == tp[sa[i]+w];
    }

    inline void main() {
        for (int i = 1; i <= n; i++) rk[i] = s[i] - 'a' + 1, tp[i] = i;
        tsort();
        for (int w = 1, p = 0; p < n; w <<= 1, m = p) {
            p = 0;
            for (int i = 1; i <= w; i++) tp[++p] = n - w + i;
            for (int i = 1; i <= n; i++) if (sa[i] > w) tp[++p] = sa[i] - w;
            tsort(), swap(rk, tp), rk[sa[1]] = p = 1;
            for (int i = 2; i <= n; i++) rk[sa[i]] = pd(i, w) ? p : ++p;
        }
    }
}

想要把普通 SA 改成树上 SA，仔细观察上面的代码可以发现：

1. \(tsort\) 函数肯定是不用改的；
2. \(pd\) 函数可以用树上倍增实现；
3. \(main\) 函数似乎也很好改？

于是开始改改改，突然发现有个问题：由于序列上每个后缀长度都不一样，所以不可能出现完全相同的字符串，可是在树上是可能出现这种情况的。

然后就没办法了么？

办法肯定是有的要不然这道题是咋出出来的。

我们来思考一下，在倍增的每一轮，基数排序究竟要达到什么目的？

对于普通 SA，在倍增的每一轮，假设已经对所有长度为 \(x\) 的串排好序了。“第一关键字”和“第二关键字”代表了两个首尾相接的长度为 \(x\) 的串，称为“主串”和“次串”。基数排序通过 \(O(n)\) 的时间，将每一对“主串”和“次串”合并成一个长度为 \(2x\) 的新串并保持合并后有序。

这样可以保证 \(O(\log n)\) 次后，所有后缀呈有序状态。

对于树上 SA，也是同样的。只不过，除了“主串”作为第一关键字，“次串”作为第二关键字以外，为了保证合并后的有序性，我们还要额外将上一轮的有序状态作为第三关键字。同时第二关键字也不能简单地用原先的 \(rk\) 数组构造（因为 \(rk\) 数组会出现相同的排名），而要额外使用没有重复的数组（下面代码中的 \(rkk\) 数组）构造。

总而言之，我们需要使用两次基数排序来达到目的，具体实现请参考代码因为这说得实在是太抽象了：

namespace SA {
    int sa[N], rk[N], rkk[N], tp[N], rk2[N], tx[N];

    inline void tsort(int *sa, int *rk, int *tp, int m) {
        for (int i = 0; i <= m; i++) tx[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) ++tx[rk[i]];
        for (int i = 1; i <= m; i++) tx[i] += tx[i-1];
        for (int i = n; i; i--) sa[tx[rk[tp[i]]]--] = tp[i];
    }

    inline bool pd(int i, int t) {
        return tp[sa[i-1]] == tp[sa[i]] && tp[f[t][sa[i-1]]] == tp[f[t][sa[i]]];
    }

    inline void main() {
        int p = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = s[i] - 'a' + 1, tp[i] = i;
        tsort(sa, a, tp, n);
        rk[sa[1]] = rkk[sa[1]] = p = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            rk[sa[i]] = a[sa[i-1]] == a[sa[i]] ? p : ++p;
            rkk[sa[i]] = i;
        }
        for (int w = 1, t = 0; w < n; w <<= 1, ++t) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) rk2[i] = rkk[f[t][i]];
            tsort(tp, rk2, sa, n);
            tsort(sa, rk, tp, p);
            swap(rk, tp);
            rk[sa[1]] = rkk[sa[1]] = p = 1;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                rk[sa[i]] = pd(i, t) ? p : ++p;
                rkk[sa[i]] = i;
            }
        }
    }
}