数据结构——哈夫曼树

Posted 2021-11-27 luanxm

转自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3706833.html

哈夫曼树的介绍

Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。

定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。

(01) 路径和路径长度

定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。

(02) 结点的权及带权路径长度

定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

(03) 树的带权路径长度

定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。

比较下面两棵树

上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。

左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右边的树WPL=290

左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

 

哈夫曼树的图文解析

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w₁、w₂、…、w_n，哈夫曼树的构造规则为：

1. 将w₁、w₂、…，w_n看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。

第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

 

哈夫曼树的基本操作

哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。

1. 基本定义

 

    public class HuffmanNode : IComparable, ICloneable
    {
        public int key;              // 权值
        public HuffmanNode left;     // 左孩子
        public HuffmanNode right;    // 右孩子
        public HuffmanNode parent;   // 父结点

        public HuffmanNode(int key, HuffmanNode left, HuffmanNode right, HuffmanNode parent)
        {
            this.key = key;
            this.left = left;
            this.right = right;
            this.parent = parent;
        }

        public object Clone()
        {
            object obj = null;
            obj = this;
            return obj;
        }

        public int CompareTo(object obj)
        {
            return this.key - ((HuffmanNode)obj).key;
        }
    }

 

 

 

HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。

public class Huffman {

    private HuffmanNode mRoot;  // 根结点

    ...
}

Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。

2. 构造哈夫曼树

 

    public class Huffman
    {

        private HuffmanNode mRoot;  // 根结点

        /* 
         * 创建Huffman树
         *
         * @param 权值数组
         */
        public Huffman(int[] a)
        {
            HuffmanNode parent = null;
            MinHeap heap;

            // 建立数组a对应的最小堆
            heap = new MinHeap(a);

            for (int i = 0; i < a.Length - 1; i++)
            {
                HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum();  // 最小节点是左孩子
                HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子

                // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
                // parent的大小是左右孩子之和
                parent = new HuffmanNode(left.key + right.key, left, right, null);
                left.parent = parent;
                right.parent = parent;

                // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
                heap.insert(parent);
            }

            mRoot = parent;

            // 销毁最小堆
            heap.destroy();
        }

        /*
         * 前序遍历"Huffman树"
         */
        private void preOrder(HuffmanNode tree)
        {
            if (tree != null)
            {
                Console.Write(tree.key + " ");
                preOrder(tree.left);
                preOrder(tree.right);
            }
        }

        public void preOrder()
        {
            preOrder(mRoot);
        }

        /*
         * 中序遍历"Huffman树"
         */
        private void inOrder(HuffmanNode tree)
        {
            if (tree != null)
            {
                inOrder(tree.left);
                Console.Write(tree.key + " ");
                inOrder(tree.right);
            }
        }

        public void inOrder()
        {
            inOrder(mRoot);
        }

        /*
         * 后序遍历"Huffman树"
         */
        private void postOrder(HuffmanNode tree)
        {
            if (tree != null)
            {
                postOrder(tree.left);
                postOrder(tree.right);
                Console.Write(tree.key + " ");
            }
        }

        public void postOrder()
        {
            postOrder(mRoot);
        }

        /*
         * 销毁Huffman树
         */
        private void destroy(HuffmanNode tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            if (tree.left != null)
                destroy(tree.left);
            if (tree.right != null)
                destroy(tree.right);
            tree = null;
        }

        public void destroy()
        {
            destroy(mRoot);
            mRoot = null;
        }

        /*
         * 打印"Huffman树"
         *
         * key        -- 节点的键值 
         * direction  --  0，表示该节点是根节点;
         *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
         *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
         */
        private void print(HuffmanNode tree, int key, int direction)
        {

            if (tree != null)
            {

                if (direction == 0) // tree是根节点
                    Console.WriteLine("{0} is root\\n", tree.key);
                else                // tree是分支节点
                    Console.WriteLine("{0} is {1}‘s {2} child\\n", tree.key, key, direction == 1 ? "right" : "left");

                print(tree.left, tree.key, -1);
                print(tree.right, tree.key, 1);
            }
        }

        public void print()
        {
            if (mRoot != null)
                print(mRoot, mRoot.key, 0);
        }
    }

 

首先创建最小堆，然后进入for循环。

每次循环时：

(01) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)；
(02) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
(03) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
(04) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。

MinHeap

 

    public class MinHeap
    {

        private List<HuffmanNode> mHeap;        // 存放堆的数组

        /* 
         * 创建最小堆
         *
         * 参数说明：
         *     a -- 数据所在的数组
         */
        public MinHeap(int[] a)
        {
            mHeap = new List<HuffmanNode>();
            //mHeap = new ArrayList<HuffmanNode>();
            // 初始化数组
            for (int i = 0; i < a.Length; i++)
            {
                HuffmanNode node = new HuffmanNode(a[i], null, null, null);
                mHeap.Add(node);
            }

            // 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
            for (int i = a.Length / 2 - 1; i >= 0; i--)
                filterdown(i, a.Length - 1);
        }

        /* 
         * 最小堆的向下调整算法
         *
         * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
         *
         * 参数说明：
         *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
         *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
         */
        public void filterdown(int start, int end)
        {
            int c = start;      // 当前(current)节点的位置
            int l = 2 * c + 1;  // 左(left)孩子的位置
            HuffmanNode tmp = mHeap[c]; // 当前(current)节点

            while (l <= end)
            {
                // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
                if (l < end && (mHeap[1].CompareTo(mHeap[l + 1]) > 0))
                    l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]

                int cmp = tmp.CompareTo(mHeap[l]);
                if (cmp <= 0)
                    break;      //调整结束
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[l];
                    c = l;
                    l = 2 * l + 1;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /*
         * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
         *
         * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
         *
         * 参数说明：
         *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
         */
        public void filterup(int start)
        {
            int c = start;          // 当前节点(current)的位置
            int p = (c - 1) / 2;        // 父(parent)结点的位置 
            HuffmanNode tmp = mHeap[c]; // 当前(current)节点

            while (c > 0)
            {
                int cmp = mHeap[p].CompareTo(tmp);
                if (cmp <= 0)
                    break;
                else
                {
                    mHeap[c] = mHeap[p];
                    c = p;
                    p = (p - 1) / 2;
                }
            }
            mHeap[c] = tmp;
        }

        /* 
         * 将node插入到二叉堆中
         */
        public void insert(HuffmanNode node)
        {
            int size = mHeap.Count();

            mHeap.Add(node);    // 将"数组"插在表尾
            filterup(size);     // 向上调整堆
        }

        /*
         * 交换两个HuffmanNode节点的全部数据
         */
        private void swapNode(int i, int j)
        {
            HuffmanNode tmp = mHeap[i];
            mHeap[i] = mHeap[j];
            mHeap[j] = tmp;
        }

        /* 
         * 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
         * 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。
         *
         * 返回值：
         *     失败返回null。
         */
        public HuffmanNode dumpFromMinimum()
        {
            int size = mHeap.Count();

            // 如果"堆"已空，则返回
            if (size == 0)
                return null;

            // 将"最小节点"克隆一份，将克隆得到的对象赋值给node
            HuffmanNode node = (HuffmanNode)mHeap[0].Clone();

            // 交换"最小节点"和"最后一个节点"
            mHeap[0] = mHeap[size - 1];
            // 删除最后的元素
            mHeap.Remove(mHeap[size - 1]);

            if (mHeap.Count() > 1)
                filterdown(0, mHeap.Count() - 1);

            return node;
        }

        // 销毁最小堆
        public void destroy()
        {
            mHeap.Clear();
            mHeap = null;
        }
    }

 

 

 

在二叉堆中已经介绍过堆，这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问，直接参考后文的源码。其它的相关代码，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

测试程序

    public class HuffmanTest
    {
        private int[] a = { 5, 6, 8, 7, 15 };

        public void main()
        {
            int i;
            Huffman tree;

            Console.WriteLine("== 添加数组: ");
            for (i = 0; i < a.Length; i++)
                Console.WriteLine(a[i] + " ");

            // 创建数组a对应的Huffman树
            tree = new Huffman(a);

            Console.WriteLine("\\n== 前序遍历: ");
            tree.preOrder();

            Console.WriteLine("\\n== 中序遍历: ");
            tree.inOrder();

            Console.WriteLine("\\n== 后序遍历: ");
            tree.postOrder();


            Console.WriteLine("== 树的详细信息: ");
            tree.print();

            // 销毁二叉树
            tree.destroy();
        }
    }

结果

== 添加数组:
5
6
8
7
15

== 前序遍历:
41 15 7 8 26 11 5 6 15
== 中序遍历:
7 15 8 41 5 11 6 26 15
== 后序遍历:
7 8 15 5 6 11 15 26 41 == 树的详细信息:
41 is root

15 is 41‘s left child

7 is 15‘s left child

8 is 15‘s right child

26 is 41‘s right child

11 is 26‘s left child

5 is 11‘s left child

6 is 11‘s right child

15 is 26‘s right child