一篇不大正经的有关素数的小结

Posted 2021-11-27 morbidity

众所周知，素数是一个神奇的物种。它呢，不存在非平凡因子（什么是平凡因子呢？即对于任意数n都至少存在两个因子，一个是1，另一个是n本身，我们就叫它俩为n的平凡因子，其他的呢，都为n的不平凡因子（就是与众不同啦））。

这样一想，求它是不是就有很多种方法啦~（悄咪咪说一句，19260817是个质数）

那么OI中就会有非常可爱的求素数及判断素数的题目啦~

xjb乱说一遍关于素数的搞搞：

看代码永远比bb一大堆有的用处

1.一个非常毒瘤的判断素数法子（跑的贼快的那种时间复杂度O($\sqrt{n}$$/3$)）:

（我太LJ了，所以不会解释）

首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；
证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

·· 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ···

可以看到，不和6的倍数相邻的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。因此在5到sqrt(n)中每6个数只判断2个，时间复杂度O($\sqrt{n}$$/3$)。

这种方法裁剪了不和6的倍数相邻的数，虽然都没有降低时间复杂度的阶数，但都一定程度上加快了判断的速度。

inline bool prime(int n){
    if(n==1) return false;
    if(n==2||n==3) return true;
    if(n%6!=1 && n%6!=5) return false;
    for(register int i=5;i*i<=n;i+=6) 
        if(n%i==0 ||n%(i+2)==0) return false;
    return true;
}

2.非常朴素的一种算法(判断有没有能整除的数)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(n%i==0) {
            cout<<"flase";
            return 0;
        } else {
            cout<<"true";
            return 0;
        }
    }
}

3.网络上流传的素数打表：

/*
遇到素数需要打表时，先估算素数的个数：
num = n / lnx;
num为大概数字，越大误差越小（只是估计，用于估算素数表数组大小）
这个打表法效率貌似很高，网上说几乎达到了线性时间（不知道是真是假=。=）
*/
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define maxn 10000000
using namespace std;
bool visit[maxn+1000000];
int prime[maxn],n; ///prime的大小大概估计一下再开数组。大概是（x/lnx）
void getprime() {
    memset(visit, false, sizeof(visit));
    int num = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if ( !visit[i] )  prime[++num] = i;
        for (int j = 1; j <= num && i * prime[j] <= n ;  j++) {
            visit[ i  *  prime[j] ]  =  true; 
            if (i % prime[j] == 0) break; 
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(visit[i]==false)
        cout<<i<<' ';
    }
}
int main() {
    freopen("素数打表.txt","w",stdout); 
    scanf("%d",&n);
    getprime();
    return 0;
}

4.弟弟一般的朴素打表：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int g_g(int x) {
    int flag=1;
    for(int i=2; i<=sqrt(x); ++i) {
        if(x%i==0)
            flag=0;
    }
    if(flag==1)
        return 1;
    else
        return 0;
}
int main() {
    freopen("sushu.out","w",stdout);
    for(int i=9784010; i<=100000000; ++i) {
        if(g_g(i)) {
            cout<<i<<",";
        }
    }
    return 0;
}

5.有点小优化的朴素判断：

bool isprime(int n) {
    if(n<2)return false;
    if(n==2) return true;
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
        if(n%i==0)
            return false;
    return true;
}

6.埃氏筛总得听过吧

#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
const long long maxn=10000007+10;
const long long maxp=700000;
int vis[maxn];//i是合数vis为1，i是素数，vis为0
long long prime[maxp];
void sieve(long long n) {
    long long m=(long long)sqrt(n+0.5);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(long long i=3; i<=m; i=i+2) {
        if(!vis)for(long longj=i*i; j<=n; j+=i) vis[j]=1;
        if(i*i>n)break;
    }
}

long long gen(long long n) {
    ieve(n);
    long long c=1;
    rime=2;
    for(long long i=3; i<=n; i=i+2)
        if(!vis) rime[c++]=i;
    return c;
}

int main() {
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("biao.out","w",stdout);
    long long n,c;
    cin>>n;
    c=gen(n);
    for(long long i=0; i<c; i++)
        rintf("%lld",prime);
    cout<<endl<<c;
    return 0;
}

7.miller rabin 算法（很**，反正我不会）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#define ll long long
using namespace std;
const int times = 20;
int number = 0;
map<ll, int>m;
ll Random(ll n) { //生成[ 0 , n ]的随机数
    return ((double)rand()/RAND_MAX*n+0.5);
}
ll q_mul(ll a, ll b, ll mod) { //快速计算 (a*b) % mod
    ll ans=0;
    while(b) {
        if(b&1) {
            b--;
            ans=(ans+a)%mod;
        }
        b/=2;
        a=(a+a)%mod;
    }
    return ans;
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll mod) { //快速计算 (a^b) % mod
    ll ans=1;
    while(b) {
        if(b&1) {
            ans=q_mul(ans,a,mod );
        }
        b/=2;
        a=q_mul(a,a,mod);
    }
    return ans;
}
bool witness(ll a,ll n) { //miller_rabin算法的精华
    //用检验算子a来检验n是不是素数
    ll tem=n-1;
    int j=0;
    while(tem%2==0) {
        tem/=2;
        j++;
    }
    //将n-1拆分为a^r * s
    ll x=q_pow(a,tem,n); //得到a^r mod n
    if(x==1||x==n-1) return true;//余数为1则为素数
    while(j--) { //否则试验条件2看是否有满足的 j
        x=q_mul(x,x,n);
        if(x==n-1)return true;
    }
    return false;
}
bool miller_rabin(ll n) { //检验n是否是素数

    if(n==2)return true;
    if(n<2||n%2==0)return false;//如果是2则是素数，如果<2或者是>2的偶[]数则不是素数
    for(register int i=1; i<=times; i++) { //做times次随机检验
        ll a=Random(n-2)+1;//得到随机检验算子 a
        if(!witness(a,n))return false;//用a检验n是否是素数
    }
    return true;
}
int main() {
    ll x;
    while(cin>>x) {
        if(miller_rabin(x))
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout <<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}

刮搜几道弟弟（我这种人）喜欢做的题：

AT261 与えられた数より小さい素数の個数について
AT807 素数、コンテスト、素数
AT1476 素数判定
P3383 【模板】线性筛素数
P3912 素数个数

    综上所述：我还是喜欢毒瘤，噗嗤