关于C(n,m) 的奇偶 ,与C(n,0),C(n,1),C(n,2)…C(n,n).当中有多少个奇数

Posted 2021-11-27 shuaihui520

 

(n & m) == m  为奇数

 

C(n,0),C(n,1),C(n,2)…C(n,n).当中有多少个奇数

第一种想法是Lucas定理推导，我们分析一下 C(n,m)%2,那么由lucas定理，我们可以写成二进制的形式观察，比如 n=1001101，m是从000000到1001101的枚举，我们知道在该定理中C(0,1)=0,因此如果n=1001101的0对应位置的m二进制位为1那么C(n,m) % 2==0,因此m对应n为0的位置只能填0，而1的位置填0，填1都是1（C(1,0)=C(1,1)=1)，不影响结果为奇数，并且保证不会出n的范围，因此所有的情况即是n中1位置对应m位置0，1的枚举，那么结果很明显就是：2^(n中1的个数)。

在这里给出一个判断组合数奇偶性的一个规律：如果(n&m)==m，那么C(n,m)为奇数，否则为偶数 

这就引出第二种想法，按照二进制考虑&运算，(n&m)==m(m<=n)那么n二进制位为1的m对应的二进制位可以是0或者1，n二进制位为0的m对应的二进制位只可能为0，这样就能保证m与完n之后还是m，做法和第一种是一样的

 

#include <bits/stdc++.h>
  #define pr(x) cout << #x << "= " << x << "  " ；
  #define pl(x) cout << #x << "= " << x << endl;
  using  namespace  std;
 
  int  main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
      int cnt=0;
      while(n){
        if(n&1)cnt++;
        n>>=1;
      }
      printf("%d\n", 1<<cnt);
    }
    return 0;
  }

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